Основные формулы комбинаторики

Комбинаторикараздел математики, которыйизучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно со­ставить из элементов, безразлично какой природы, задан­ного конечного множества.При непосредственном вычис­лении вероятностей часто используют формулы комбина­торики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками () называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возмож­ных перестановок:

где n!=123.. п.

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0!==1.

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел

Р3=3!=123=6.

Размещениями () называют комбинации, составленные из n различных элементов по т элементов, которые от­личаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений:

Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых no 2?

Решение. Искомое число сигналов

Сочетаниями () называют комбинации, составленные из « n» различных элементов по «т» элементов, которые отли­чаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний:

Пример 3.Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Замечание.Выше предполагалось, что все n элементов раз­личны. Если же некоторые элементы повторяются,то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют во другим формулам. Напри­мер, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 эле­ментов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями

При решении задач комбинаторики используют сле­дующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n спо­собами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тп способами.

Дата добавления: 2014-01-07