Односторонние производные

Аналогично понятиям односторонних пределов функции вводятся понятия односторонних производных.

Пусть функция определена в правой окрестности точки и пусть – произвольное достаточно малое положительное приращение аргумента такое, что точка также принадлежит данной окрестности . Если существует конечный предел

,

то этот предел называется правой производной функции в точке и обозначается :

.

Во избежание путаницы отметим, что запись эквивалентна соотношениям и :

.

Пусть функция определена в левой окрестности точки и пусть – произвольное достаточно малое отрицательное приращение аргумента такое, что точка также принадлежит данной окрестности . Если существует конечный предел

,

то этот предел называется левой производной функции в точке и обозначается :

.

Аналогично приведенному выше замечания отметим, что запись эквивалентна соотношениям и :

.

Если функция имеет производную в точке , то она имеет и односторонние производные и в этой точке и справедливы равенства

. (3)

Верно и обратное утверждение: если функция имеет односторонние производные и в этой точке и выполняется условие , то функция имеет производную в этой точке и имеет место равенства (3).

Дата добавления: 2014-01-07