Правила дифференцирования. Имея некоторый набор дифференцируемых функций можно получить новые дифференцируемые функции с помощью арифметических и алгебраических действий над ними

Имея некоторый набор дифференцируемых функций можно получить новые дифференцируемые функции с помощью арифметических и алгебраических действий над ними. Получим теперь формулы для производных суммы, разности, произведения, частного двух функций и обратной функции.

7.1. Производная суммы. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и дифференцируемы в этой точке . Тогда и их сумма дифференцируема в точке и справедливо равенство

.

Полученное равенство следует запомнить, как правило дифференцирования суммы двух функций: производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций.

Это правило справедливо и для произвольного конечного числа функций: если функции , (– произвольное натуральное число) дифференцируемы в точке , то и их сумма дифференцируема в точке и справедливо равенство

.

7.2. Производная разности. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и дифференцируемы в этой точке . Тогда и их разность дифференцируема в точке и справедливо равенство

.

Полученное равенство следует запомнить, как правило дифференцирования разности двух функций: производная разности двух функций равна разности производных этих функций.

7.3. Производная произведения. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и дифференцируемы в этой точке . Тогда и их произведения дифференцируема в точке и справедливо равенство

. (11)

Полученное равенство следует запомнить, как правило дифференцирования произведения двух функций: производная произведения двух функций равна сумме произведений производной каждой из этих функций на другую функцию.

Приведенное правило легко обобщается и для произвольного конечного числа множителей. Например, для трех и четырех множителей равенства, аналогичные (11) имеют вид:

,

.

Производная произведения произвольного количества функций равна сумме произведений производной каждой из этих функций на остальные функции.

7.4. Производная частного. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и дифференцируемы в этой точке , причем . Тогда и их частное дифференцируемо в точке и справедливо равенство

.

Полученное равенство следует запомнить, как правило дифференцирования частного двух функций: производная частного двух функций равна отношению произведения производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя к квадрату знаменателя.

7.5. Производная обратной функции. Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки . Если функция дифференцируема в этой точке и , то функция обратная к функции , дифференцируема в точке , причем

.

Дата добавления: 2014-01-07