Дифференциал функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Функцию назовем дифференцируемой в точке , если ее приращение представимо в виде

, (6)

где не зависит от , а при .

Линейную часть приращению функции (6) назовем дифференциалом функции в точке и обозначим или, короче, :

. (7)

Из соотношений (6) и (7), получим

.

Теорема 1. Для дифференцируемости функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке и для дифференциала функции справедливо представление

. (8)

Если обозначает приращение функции при приращении аргумента , то дифференциал обозначает приращение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой соответствующее тому же приращению аргумента.

Заметим, что дифференциал независимой переменной совпадает с приращением независимой переменной . Действительно, рассматривая функцию для всех точек , имеем . Отсюда и из (8) вытекает равенство

. (9)

Равенства (8) и (9) позволяют представить производную функции как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной

. (10)

Если функция определена в некотором промежутке и в каждой точке имеет производную , то будем говорить, что функция дифференцируема на промежутке . При этом, если промежуток содержит концевые точки, то в них рассматриваются односторонние производные. Равенство (10) для произвольной точки принимает вид

или .

Дата добавления: 2014-01-07