Полное приращение функции и полный дифференциал

Для дифференцируемой функции одной переменной:

D у = f¢ (x ₀)D x +aD x,

где a®0 при D x ®0.

dу = f¢ (x ₀) d x и

D у» f¢ (x ₀) D x,

т.е. f (x ₀+ D x) » f (x ₀) + f¢ (x ₀) D.

Рис. 10.

При этом дуга кривой заменяется отрезком касательной на отрезке [ x ₀, x ₀+ D x ]. Это значит, что нелинейная функциональная зависимость на малом промежутке заменяется более простой – линейной.

Рассмотрим функцию двух переменных f (x, у). Пусть она определена и непрерывна в точке М ₀(х ₀ ,у ₀) и некоторой ее окрестности.

Перемещению из точки М ₀(х ₀ ,у ₀) в точку Мх,у)

х = x ₀+ D x, у = у ₀+ D у

соответствует полное приращение функции:

D z = f (М) - f (М ₀) =

у ₀+D у

f (x ₀+ D x, у ₀+ D у) - f (x ₀, у ₀);

т.к. здесь, вообще говоря, все переменные получают приращения отличные от нуля.

Рис. 11.

Так как z = f (x, у) непрерывна в точке М _0,:

; то= 0 или = 0. Если функция z = f (x, у) линейна, то ее полное приращение имеет очень простой вид: оно линейно относительно приращений аргументов. Действительно:

z = a x + b у + c; D z = [ a (x +D x) + b (у + D y) + c ] – [ a x + b у + c ];D z =a D x + b D y.

В общем случае, для произвольной функции, полное приращение имеет сложную структуру. Однако для широкого класса функций, называемых дифференцируемыми, полное приращение D z можно приближенно выразить линейно через приращения аргументов.

Обозначим через r расстояние между точками М ₀ и М:

r =. Очевидно, что r ® 0 Û D х ® 0 и D у ® 0.

Функция z = f (x, у) называется дифференцируемой в точке М₀ (х₀,у₀), если существуют числа А и В такие, что полное приращение функции представимо в виде:

D z = АDx + В Dy +gr, где g® 0 при r® 0. (3)

Линейная функция АDx + ВDy переменных Dx и Dy называется полным дифференциалом функции f (x, у) в точке М₀ (х₀,у₀) и обозначается

dz = АDx + В Dy.

Следовательно, формулу (3) можно записать

D z = dz +g r.

Замечание. Формулу (3) можно записать в другом виде:

g r = ==.

Так как и , то a® 0 и b® 0 при D х ® 0 и D у ® 0. Значит

D z = А D x + В D y + a D x + bD y, (4)

где a® 0 и b® 0 при D х ® 0 и D у ® 0.

Теорема 1. (Необходимое условие). Если функция z = f (x, у) дифференцируема в точке М ₀ (х ₀, у ₀), то эта функция имеет в точке М ₀ частные производные, причем

= А, = В.

Следовательно, полный дифференциал можно записать в виде:

d z = D x + D y. Но D x =d х и D y= dу.

Поэтому

d z = d x + d y (В произвольной точке М (х,у). Таким образом, d z = z + z - полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов.

Для функции одной переменной наличие конечной производной в точке х ₀и существование дифференциала в этой точке означают одно и то же. Для функции большего числа переменных наличие частных производных не является достаточным условием дифференцируемости: производные могут существовать в точке, а условие (3) при этом может не выполняться.

Теорема 2. (Достаточное условие) Если функция

z = f (x, у) имеет частные производные в точке М₀ (х₀,у₀) и некоторой ее окрестности, и эти частные производные являются непрерывными функциями, то эта функция дифференцируема в точке М₀, причем

d z = Dх +, Dу.

Теорема 3. Если функция f (x, у) дифференцируема в точке М₀, то она непрерывна в этой точке.

Точно также определяется дифференциал для функции большего числа переменных. Для n =3: u= f (x, у, z)

d u = dx + dy + dz.

Дата добавления: 2014-01-14