Частные производные сложной функции. Полная производная

Пусть дана дифференцируемая функция

z = f (u, v),(7)

где u и v, в свою очередь, дифференцируемые функции двух переменных:

u (x, у) и v (x, у) (8)

Тогда функция z является сложной функцией двух переменных, ее можно непосредственно выразить через x и у:

z = f [ u (x, у), v (x, у)] (9)

Пример. , , тогда

. Теперь можно найти.

Иногда бывает необходимо найти производные и непосредственно, пользуясь равенствами (7) и (8) и не переходя к равенству (9).

=; =. (11)

Формулы (11) – обобщение правила дифференцирования сложной функции: на случай двух переменных. Доказанное правило применимо на случай любого числа промежуточных аргументов и независимых переменных. В приложениях часто встречаются два частных случая.

1. Сложная функция одной независимой переменной с несколькими промежуточными аргументами:

где

Тогда, учитывая, что зависит фактически от одной переменной t: w=w (t), получим по первой из формул (11)

= (12)

Пример. , где .

=

= .

=

2. Сложная функция одной независимой переменной, совпадающей с одним из промежуточных аргументов.

где

= (13)

Формулы (12) и (13) называются формулами полной производной.

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть дана сложная функция z= f (u, v), u = u (x, у), v = v (x, у) и пусть все эти функции дифференцируемы. Найдем полный дифференциал сложной функции.

Имеем:

.

= = .

Таким образом,

То есть формула для дифференциала первого порядка такая же, как и для случая, когда u и v независимые переменные.Следовательно, форма записи дифференциала первого порядка не зависит от того, являются ли u и v независимыми переменными или функциями. Это свойство называется инвариантностью.

Дата добавления: 2014-01-14