Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция z = f (u, v). Найдем ее частные производные:

и .

Частные производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных: х и у. Их можно снова дифференцировать по этим переменным. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются следующим образом:

;;; .

Производные ,, отличающиеся порядком дифференцирования называются смешанными производными второго порядка.

Пример. Найти производные второго порядка функции

; ;

; ;

; .

Оказалось, что смешанные производные второго порядка равны.

Теорема. Смешанные производные второго порядка равны в той области, где они непрерывны:

= . (Без доказательства)

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и обозначаются:

; ; и т.д.

Введем понятие дифференциала второго и более высоких порядков.

Пусть функция Z = f (х, у). Имеет непрерывные частные производные достаточно высоких порядков. Рассмотрим дифференциал этой функции.

+ . (14)

Этот дифференциал называется полным дифференциалом первого порядка, он зависит, во-первых от х и у, т.к. от х и у зависят частные производные, во-вторых, он зависит от

dx =Dx и dy =Dy. Эти величины не зависят от х и у. Поэтому при дифференцировании по х или у их можно считать постоянными.

Полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка называется полным дифференциалом второго порядка и обозначается.

=+++ =

=+++ .

Таким образом

+2+ .

Символически дифференциалы первого и второго порядков можно записать так:

и .

Вообще, для дифференциала n -го порядка имеет место следующая формула:

.

Эти формулы надо понимать так: сумму стоящую в круглых скобках надо возвести в степень n по формуле бинома Ньютона, после чего показатели степени при и надо считать указателями порядка производной по х и у от функции z.

Замечание. Для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности формы не выполняется.

Дата добавления: 2014-01-14