Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума

Рассмотрим функцию z= f (x,y), непрерывную в точке М ₀(x ₀ ,y ₀) и некоторой ее окрестности.

Рис. 13. Рис. 14.

Точка М₀(x₀,y₀) называется точкой максимума функции z = f(М) (рис.13), если всюду в некоторой окрестности точки М₀ (0<d(M₀M) < d) выполняется неравенство

f(М) <f(М₀) или D z = f(М) - f(М₀) <0

Точка М₀(x₀,y₀) называется точкой минимума функции z = f(М) (рис.14), если всюду в некоторой окрестности точки М₀ (0<d(M₀M) < d) выполняется неравенство

f (М) > f (М ₀) или D z = f (М) - f (М ₀) > 0.

Точки максимума и точки минимума – точки экстремума. Понятие экстремума носит локальный характер: в определении рассматриваются лишь точки М ₁достаточно близкие к точке М _0.

Теорема. (Необходимое условие). Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М₀(x₀,y₀) и имеет в этой точке экстремум, то

; .

Следствие. В тех точках, в которых существуют частные производные и хотя бы одна из них отлична от нуля, экстремума быть не может.

Значит экстремум следует искать только в тех точках, в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует.

Такие точки называются критическими (стационарными). В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. В общем случае о наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточных признаков экстремума.

Дата добавления: 2014-01-14