Достаточный признак экстремума

Теорема 2. Пусть функция z= f(х,у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М₀ (х₀,у₀), а в самой точке М_0.

; (т.е. точка М₀ является критической). Обозначим:

, , .

Тогда:

1. Если число D =>0, то точке М ₀ (х ₀ ,у ₀) функция f (х,у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А >0.

2. Если число D =<0, то точке М ₀ (х ₀ ,у ₀) экстремума нет.

3. Если число D ==0, то признак не применим.

Пример. Найти экстремум функции

.

Найдем частные производные и приравняем их нулю.

.

Решая систему уравнений, получим критические точки

х ₁=0; у ₁ =0; х ₂= 3; у ₂= 3; М ₁(0,0); М­ ₂(3,3).

Найдем вторые производные:

= 6 х, =-9, = 6 у .

В точке М ₁: А =0, В = - 9, С =0. < 0. Экстремума нет.

В точке М ₁: А =18, В = - 9, С = 18. >0. Следовательно, в точке М ₂ функция имеем минимум, так как А >0.

Дата добавления: 2014-01-14