Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция z = f (x,y) непрерывна в замкнутой области . Тогда в области найдётся хотя бы одна точка A (x ₀, y ₀), в которой функция принимает своё наибольшее значение M: f (x ₀, y ₀) = M и найдется хотя бы одна точка B (x ₁, y ₁), в которой функция принимает своё наименьшее значение m:

f (x ₁, y ₁) = m, т.е. f (x,y) M и f (x,y) m M . (17)

Возможны два случая. Точка А лежит внутри области D или точка А лежит на границе. То же самое и относительно точки В. Если А и В лежат внутри области, то они, в силу неравенств (17), совпадают с экстремальными точками.

Таким образом. для нахождения наибольшего и наименьшего значений надо:

1) найти все критические точки, попадающие внутрь области D и вычислить значения функции в этих точках.

2) найти критические точки на границе области и вычислить в них значения функции.

3) затем выбирают наибольшее и наименьшее из всех полученных чисел.

Дата добавления: 2014-01-14