Предел числовой последовательности. Определение1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число

Определение1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}:

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента:

Числа называются членами последовательности, а число - общим или n- м членом данной последовательности.

Пример 5. Пусть . Вычислить первые пять членов этой последовательности.

Решение. Вычисляем по формуле общего члена последовательности:

и т.д. Эта последовательность имеет вид:

Рассмотрим последовательность

Легко видеть, что , и, следовательно, с возрастанием номера n приближается к 8. Поставим перед собой задачу придать этому утверждению точную математическую формулировку. С этой целью сначала ответим на следующий вопрос: каким должно быть n, чтобы модуль разности был меньше 0,001? Так как

,

то неравенство выполняется для любого n >1000. Для произвольного положительного числа неравенство

равносильно неравенству . В этом случае говорят, что предел последовательности равен 8, и пишут:

Определение 2. Число а называется пределом числовой последовательности {a_n}, если для каждого заданного числа >0 найдется такое натуральное число N, что для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство

.

В этом случае пишут:

и говорят: «Последовательность {a_n} имеет пределом число а» или «Последовательность {a_n} сходится к числу а».

Определение 3. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.

Выясним геометрический смысл предела числовой последовательности.

Расположим члены последовательности на числовой прямой. Неравенство равносильно двойному неравенству , соответствующему попаданию членов последовательности в -окрестность точки а.

Итак, число а есть предел числовой последовательности {a_n}, если для любого найдется номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в -окрестности точки а, какой бы малой она ни была. Вне этой -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Дата добавления: 2014-10-17