Вычисление пределов

Основные теоремы о пределах

Пусть f(x) и - функции, для которых существуют и . Сформулируем основные теоремы о пределах.

1.Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

= А+В.

3.. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

= АВ.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, т.е.

, при

5. Выражение вида называется первым замечательным пределом;

6. Выражение вида называется вторым замечательным пределом.

Примечание: логарифм числа х по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается lnx.

Случай 1: непосредственная подстановка.

Для нахождения предела элементарной функции нужно вычислить значение этой функции от предела ее аргумента (если такое значение существует).

Задача 1.

Задача 2.

Случай 2: неопределенность вида

При х®а или х®¥ функция f(х) представляет собой отношение двух бесконечно малых величин. Для вычисления пределов используются приемы:

а) разложение числителя и знаменателя на множители, затем сокращение дроби на бесконечно малый сомножитель;

б) перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель;

в) используют первый замечательный предел.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

Задача 6.

Примечание: числитель и знаменатель умножаем на произведение

Задача 7.

Задача 8.

Задача 9.

Используем формулу понижения степени:

или

Задача 10.

Задача 11.

а) Ответ: 0.

б) Ответ:

Случай 3: неопределенность вида

Для раскрытия неопределенности этого вида числитель и знаменатель делят на наивысшую из имеющихся степеней аргумента.

Задача 12.

Задача 13.

Задача 14.

Задача 15.

Случай 4: неопределенность вида

Для раскрытия неопределенностей этих видов функция приводится к случаю или Затем используют приемы случаев 2, 3.

Задача 16.

Задача 17.

Задача 18.

Задача 19.

Задача 20.

{Используем формулу приведения

, т.е. }

Случай 5: неопределенность вида

Для нахождения предела в данном случае используется второй замечательный предел.

Задача 21.

Сделаем замену переменной n=ax, n®¥, x®¥.

Задача 22.

Смешанные задачи на нахождение пределов.

Задача 23.

Задача 24.

Задача 25.

Задача 26.

Ответ: 9.

Задача 27.

Ответ:

Задача 28.

Ответ:

Задача 29.

Ответ:

Задача 30.

Дата добавления: 2014-10-17