Понятие производной

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Решение задач

Задача 31.

Исследуйте непрерывность следующих функций:

а) в точках х=1 и х=-1.

б) в точках х=0, х=-1, х=1.

в) в точках х=-2, х=0, х=1.

г) в точках х=-2, х=0, х=5.

д) в точках х=-1, х=0, х=3.

е) в точках х=-2, х=0, х=2.

Задача 32.

Доказать непрерывность функции в точке х=0 или установить характер разрыва:

а) ; б)

в) ; г) .

Задача 33.

Какие из данных функций являются непрерывными в точке х=1? В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва.

а) ; б)

в) ; г) .

ГЛАВА 4.

Пусть на интервале (a,b) задана функция f(x). Возьмем произвольно точку Тогда для любой точки разность называется приращением аргумента х в точке и обозначается

,

откуда

.

Разность называется приращением функции f(x) в точке и обозначается .

Т.е.

,

или

.

Определение. Производной функции у=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента Dх при условии, что Dх®0, а указанный предел существует. Символически производная обозначается .

Конкретным значениям соответствуют определенные значения производной, если она существует приданных х. Следовательно производная является функцией аргумента х и обозначается любым из равноправных символов:

(«игрек штрих»),

(«эф штрих от икс»),

(«дэ игрек по дэ икс»).

Итак,

.

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правило. Для нахождения производной функции y=f(x) по аргументу х на основе определения нужно найти:

1) наращенное значение функции у+Dу;

2) приращение функции Dу;

3) отношение приращения функции к приращению аргумента ;

предел этого отношения при Dх®0 .

Дата добавления: 2014-10-17