Вопрос 10.1. Смешанное произведение векторов

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

Определение 10.1. Смешанным произведением трех векторов называется число

Геометрическое свойство смешанного произведения:

Теорема 10.1. Объём параллелепипеда, построенного на векторах равен модулю смешанного произведения этих векторов

,

или объём тетраэдра (пирамиды), построенного на векторах равен одной шестой модуля смешанного произведения

.

Доказательство. Из элементарной геометрии известно, что объём параллелепипеда равен произведению высоты на площадь основания

Площадь основания параллелепипеда S равна площади параллелограмма, построенного на векторах (см. рис. 1). Используя

Рис. 1. К доказательству теоремы 1.

геометрический смысл векторного произведения векторов , получаем, что

.

Далее, если тройка векторов является правой (как на рис. 1), то высота параллелепипеда равна проекции вектора на вектор , т.е.

Отсюда получаем

.

Если тройка векторов левая, то вектор и вектор направлены противоположно, тогда

или

Таким образом, попутно доказано, что знак смешанного произведения определяет ориентацию тройки векторов (‑ тройка правая и ‑ тройка левая).

Докажем теперь вторую часть теоремы. Из рис. 2 очевидно, что объем треугольной призмы, построенной на трех векторах равен половине объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, то есть .

Рис. 2. К доказательству теоремы 1.

Но призма состоит из трех одинакового объема пирамид OABC, ABCD и ACDE. Действительно, объемы пирамид ABCD и ACDE равны, так как они имеют равные по площади основания BCD и CDE и одинаковую высоту, опущенную из вершины A. То же справедливо для высот и оснований пирамид OABC и ACDE. Отсюда

Дата добавления: 2014-10-22