Вопрос 11.1. Прямая на плоскости

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Конец доказательства.

Конец доказательства.

Свойство 10.4. Циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняет его величины.

Доказательство. Циклическая перестановка ‑ это перестановка, в которой первый объект становится третим, второй ‑ первым, третий вторым

1 2 3 Þ 2 3 1.

Циклическую перестановку можно представить как композицию двух перестановок соседних объектов:

1 2 3 Þ 2 1 3 Þ 2 3 1

Тогда знак смешанного произведения согласно свойству 10.3 будет меняться дважды, и в конечном итоге останется без изменения.

Пусть прямая L лежит в плоскости P. Выберем декартову систему координат на плоскости XY так, чтобы ось X совпадала бы с прямой L. Тогда уравнение прямой L будет иметь вид . Найдем уравнение прямой L в произвольной декартовой системе координат на плоскости P. Рассмотрим вспомогательную лемму.

Лемма 11.1. Пусть на плоскости P заданы две произвольные системы координат CS и . Тогда координаты произвольной точки M плоскости P в системе координат CS и связаны соотношением

, (1)

. (2)

образуют базис соответственно для систем координат CS и (см. рис. 1).

Рис. 1. К доказательству леммы 1.

Разложим вектора первого базиса по векторам второго базиса

, (3)

. (4)

Радиус-векторы точки M в системах координат CS исвязаны равенством

(5)

где O и начала координат для CS и . Разложим радиус-векторы по базисным векторам

, (6)

, (7)

. (8)

Тогда, подставляя формулы (6)-(8) в формулу (5), получим

. (9)

С помощью соотношений (3) и (4) преобразуем (9) в равенство

Перенесем все величины в правую часть равенства и сгруппируем слагаемые, тогда получим

Откуда получаем в силу линейной независимости векторов

,

,

что эквивалентно уравнениям (1) и (2).

Дата добавления: 2014-10-22