Вопрос 12.1. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Параметрические уравнения прямой.

Это уравнения прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору . Они легко получаются из уравнения (14), если положить

В заключение лекции выведем формулу расстояния между точкой и прямой L, общее уравнение которой . Очевидно, что это расстояние равно модулю проекции вектора на нормальный вектор (см. рис. 4).

Рис. 4. К выводу формулы расстояния между точкой и прямой L.

Тогда

.

Но и , поэтому

. (19)

Пусть P плоскость в пространстве. Выберем декартову систему координат так, чтобы плоскость XY совпала с плоскостью P. Уравнение плоскости P в этой системе координат . Нужно определить вид уравнения плоскости в любой другой декартовой системе координат. Рассмотрим вспомогательную лемму.

Лемма 12.1. Пусть в пространстве заданы две произвольные системы координат CS и . Тогда координаты произвольной точки М пространства в системе координат CS и связаны соотношениями

Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 11.1 из лекции № 11. Используя лемму 12.1, докажем теперь теорему:

Теорема 12.1. В любой системе координат плоскость P описывается линейным уравнением

(4)

Доказательство. Пусть CS произвольная система координат. Выберем новую систему координат так, чтобы плоскость совпала с плоскостью P. Тогда уравнение плоскости P будет . Согласно лемме 1, и мы получаем уравнение

, (5)

в котором

Дата добавления: 2014-10-22