Вопрос 17.1. Односторонний предел функции

ЛЕКЦИЯ № 17. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Определение 17.1. Число A (в том числе , , ) называется правым пределом функции вточке b, если для любой последовательности аргументов, такой что

,

предел соответствующей последовательности значений функции равен

.

Правый предел обозначают

Определение 17.2. Число A (в том числе , , ) называется левым пределом функции в точке b, если для любой последовательности аргументов, такой что

предел соответствующей последовательности значений функции равен

Левый предел обозначают

.

Пример 17.1. .

Односторонние пределы можно сформулировать по Коши. Например, правый предел:

число A называется правым пределом функции в точке b, если для любого существует , такое, что для всех x удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

.

Аналогично определяется левый предел. Можно доказать эквивалентность этих определений односторонних пределов.

Теорема 17.1. Если в точке b существуют и равны оба односторонних предела, то в этой точке существует предел функции, равный одностороннему пределу.

Доказательство. Пусть в точке b

Используя определение одностороннего предела по Коши, получим

,

если

или

.

Отсюда, положив , получим

,

если

,

то есть

Дата добавления: 2014-10-22