Вопрос 18.2. Производная функции и ее геометрический смысл

Конец примера.

Пример 18.1.

1) есть точка устранимого разрыва, поскольку ;

2) есть точка разрыва 2-го рода, так как ,

3) , эта функция принимает значение 1, если , значение , если , значение 0, если ; эта точка является точкой разрыва 1-го рода, так как , .

Определение 18.2. Производной функции в точке x называется предел

Производную функции обозначают так же через или . Последнее обозначение распространено в механике.

Определение 18.3. Правой производной функции в точке x называется правый предел

Определение 18.4. Левой производной функции в точке x называется левый предел

Теорема 18.1. Если в точке x существуют правая и левая производные функции и они равны между собой, то в этой точке существует производная функции, равная односторонним производным.

Теорема 18.2. Если в точке x существует производная функции, то существуют в этой точке и равные ей односторонние производные.

Доказательство этих теорем аналогично доказательству соответствующих теорем об односторонних пределах.

Геометрический смысл производной устанавливает следующая теорема (см. рис. 2)

Рис. 2. Геометрический смысл производной.

Теорема 18.3. Производная функции в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной в этой точке.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Теорема 18.4. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Вычислим предел

,

откуда

Дата добавления: 2014-10-22