Вопрос 18.4. Дифференцируемость сложной и обратной функции

Вопрос 18.3. Правила дифференцирования.

Конец доказательства.

Если и две дифференцируемые в точке x функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) производная константы (функции, принимающей постоянные значения) равна нулю;

.

2) производная суммы двух функций и равна сумме их

3) производная разности двух функций и равна разности их

4) производная произведения двух функций и равна

5) производная отношения двух функций и равна

.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Теорема 18.5. (Дифференцируемость сложной функции). Пусть функция определена на интервале I и принимает значения из интервала I', а функция определена на интервале I', тогда если дифференцируема в точке x из интервала I, а дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке x и

.

Доказательство. Согласно определению производной

Пусть , тогда получим , если и следовательно

или .

Дата добавления: 2014-10-22