Дискретной случайной величины

Формы закона распределения

I. Табличная форма: в таблице перечислены все возможные значения дискретной случайной величины (в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:

Опр.: Табличная форма закона распределения дискретной случайной величины называется рядом распределения ДСВ.

Задача 5.1: Вероятности сдать с первого раза семестровые экзамены по математике и по физике студент оценивает как 0,7 и 0,4. Составить ряд распределения числа экзаменов, которые студент сдаст с первого раза.

Решение: Так как с первого раза можно либо не сдать ни одного экзамена, либо один из них, либо все два, то есть случайная величина – число экзаменов, которые студент сдаст с первого раза, может принять одно из значений 0, 1 или 2.

II. Графическая форма: в системе координат точки последовательно соединяются отрезками ломаной, из конечных точек которой опускаются перпендикуляры на ось

Опр.: Плоская фигура, ограниченная ломаной из последовательно соединенных отрезками точек , прямыми и а также осью называется многоугольником распределения.

Задача 5.2: Используя условие задачи 5.1, построить многоугольник распределения числа экзаменов, которые студент сдаст с первого раза.

Решение:

III. Аналитическая форма: закон распределения случайной величины может быть задан в виде формулы, связывающей и

Опр.: Если любому значению аргумента ставится в соответствие вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного то говорят, что задана функция распределения случайной величины

Замечание 1: Аргумент следует отличать от значения случайной величины . Хотя в частном случае аргумент можно задать равным и значению но вообще значения функции распределения можно определять для любого действительного значения аргумента.

Замечание 2: Функция распределения – не единственный способ аналитического задания закона распределения. Существуют «стандартные» законы, для которых связь с явно задается в виде формулы.

Замечание 3: График функции является еще одним способом графического задания закона распределения случайной величины.

Свойства функции распределения:

1. по определению.

2. – неубывающая функция на всей числовой оси.

3.

4. Вероятность попадания значений случайной величины в полусегмент равна приращению функции распределения случайной величины на этом полусегменте:

Задача 5.3: Найти функцию распределения и построить ее график для дискретной случайной величины из задачи 5.1. Вычислить вероятность

Решение: Будем искать значения функции по определению как вероятность для дискретной случайной величины принять значение, меньшее заданного значения аргумента

– вероятность того, что примет значение меньше, чем самое малое из значений случайной величины, равна нулю, так как значений меньше нет. Тем более если выбрать значение аргумента еще меньшим, чем Таким образом, для любых заданных на промежутке значений аргумента вероятность того, что примет значение, меньшее равна 0.

Если то вероятность для ДСВ принять значение, меньшее заданного равна 0,18, так как такое событие возможно, только если ДСВ примет значение а это происходит с вероятностью Таким образом, при

Для вероятность того, что ДСВ примет значение, меньшее заданного складывается из вероятностей двух несовместных событий: примет значение 0 с вероятностью 0,18 или значение 1 с вероятностью 0,54. Таким образом, при

Рассмотрим . Все значения ДСВ меньше значений аргумента поэтому вероятность для ДСВ принять значение, меньшее заданного есть вероятность достоверного события и равна 1. Таким образом, при

Обобщим результаты и построим график:

Вероятность попадания значений случайной величины в заданный промежуток найдем с помощью свойства 4:

Замечание: Как видно на графике, функция распределения дискретной случайной величины имеет разрывы первого рода в точках совпадающих со значениями случайной величины, причем скачки равны вероятностям этих значений.

Дата добавления: 2014-10-23