Формула Бернулли для независимых повторных испытаний

Опр.: Независимые испытания – это опыты, в результате которых происходят независимые события.

Примеры независимых повторных испытаний: несколько подбрасываний монеты (кости); несколько извлечений карты из колоды (с возвращением и перемешиванием); несколько выстрелов по цели (с прицеливанием перед каждым выстрелом).

Если заданы число независимых опытов и постоянная вероятность наступления события в каждом опыте то говорят, что опыты проводятся по схеме Бернулли.

Теорема 4.3: Если вероятность наступления события в каждом опыте постоянна, то вероятность того, что событие наступит раз в независимых опытах, вычисляется по формуле Бернулли:

где

Замечание 1: Следует обратить внимание на смысл обозначений в формуле: – вероятность наступления события в единичном опыте; – вероятность ненаступления события в единичном опыте; – число проведенных независимых опытов; – число опытов, в которых событие наступит; – вероятность того, что в независимых опытах событие наступит ровно раз.

Замечание 2: Если для заданной схемы Бернулли найти все вероятности то как сумма вероятностей событий, составляющих полную группу.

Замечание 3: Из формулы Бернулли следует, что вероятность того, что в независимых опытахсобытие наступит:

менее раз:

более раз:

хотя бы один раз:

не менее раз и не более раз:

Задача 4.3: Всхожесть семян некоторого растения составляет 90 %. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение: есть сумма вероятностей, вычисляемых по формуле Бернулли: Событие – из четырех посеянных семян взойдут не менее трех – состоится, если взойдет три семени, то есть событие произойдет 3 раза в 4 независимых опытах, либо если взойдут четыре семени, то есть событие произойдет 4 раза. Эти случаи несовместны, поэтому вероятность суммы двух перечисленных событий

Ответ: а) б)

Замечание: Очевидно, что при всегда найдется хотя бы одно такое число наступлений события в независимых опытах, у которого самая большая вероятность наступления.

Опр.: Число для которого при выполняется неравенство называется наивероятнейшим числом наступлений события в независимых опытах.

Пусть производится независимых опытов. Вероятность появления события в каждом опыте равна , а вероятность ненаступления события в каждом опыте равна . Тогда наивероятнейшее число наступлений события в независимых опытах удовлетворяет неравенству

Замечание 1: – число наступлений события поэтому – целое число, т. е.

Замечание 2: Ширина отрезка, в котором заключено поэтому хотя бы одно целое значение всегда найдется.

Замечание 3: Если то то есть значений будет два: и

По формуле Бернулли можно найти вероятность наивероятнейшего числа:

Задача 4.4: Всхожесть семян некоторого растения составляет 70 %. Найти наивероятнейшее число всхожести семян в партии из 24 семян. Определить вероятность наивероятнейшего числа семян.

Решение:

Между 16,5 и 17,5 только одно целое число 17 – это и есть Вероятность наивероятнейшего числа семян – это вероятность того, что из 24 семян взойдут ровно семян, то есть

Т. о.,

Ответ:

Дата добавления: 2014-10-23