Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теоремы умножения вероятностей




 

Опр.: Вероятность события найденная при условии, что произошло событие называется условной вероятностью события и обозначается или

Замечание: Понятие условной вероятности вводится, чтобы установить, влияет ли на вероятность события изменение условий в виде наступления другого события

Опр.: События и называются независимыми, если вероятность любого из них не изменится от того, что произойдет другое. В противном случае и называются зависимыми.

Определение можно выразить с помощью формул:

 

 

Задача 3.7: Из колоды в 52 листа извлекается одна карта. Рассматриваются события: появление карты красной масти; появление туза; появление бубнового туза. Найти вероятности событий и все возможные условные вероятности. Проверить попарную зависимость или независимость этих событий.

Решение:

, , .

– вероятность извлечь карту красной масти при условии, что вынут «туз»; «туза» можно вынуть 4 способами, среди них 2 карты красной масти, поэтому .

– вероятность извлечь карту красной масти при условии, что вынут бубновый «туз» – вероятность достоверного события.

– вероятность извлечь «туза» при условии, что вынута карта красной масти; красную карту можно извлечь 26 способами, среди них 2 способа взять «туза», поэтому .

– вероятность извлечь «туза» при условии, что вынут бубновый «туз»; очевидно, что это достоверное событие.

– вероятность извлечь бубнового «туза» при условии, что вынута карта красной масти; красную карту можно вынуть 26 способами, а бубновый «туз» среди красных карт один.

– вероятность извлечь бубнового «туза» при условии, что вынут «туз»; «туза» из колоды можно взять 4 способами, и среди «тузов» бубновый один.

Таким образом, получили, что

 

Замечание: Из примера легко видеть, что для выяснения зависимости или независимости событий и достаточно проверить лишь одно из равенств определения: или

Теорема 3.3: Вероятность произведения зависимых событий и равна произведению вероятности события на вероятность события найденную при условии, что произошло событие

 

 

Замечание 1: События и в теореме можно поменять местами на основании свойства коммутативности умножения, тогда

 

 

Задача 3.8: В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

Событие появление двух белых шаров.

Событие появление белого шара при первом вынимании.

Событие появление белого шара при втором вынимании.

. События и зависимые

Один белый шар из пяти шаров, среди которых два белых, можно вытащить с вероятностью . Второй белый шар среди оставшихся четырех шаров можно вытащить уже с вероятностью Таким образом,

Ответ:

Теорема 3.4: Если события и независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

 

 

Замечание 1: Теоремы 3.3 и 3.4 можно распространить на любое конечное число событий.

Замечание 2: Теоремы дают возможность проверять зависимость событий еще одним способом:

 

Задача 3.9: Найти вероятность совместного появления «герба» при одном бросании двух монет.

Решение:

Событие появление «герба» на первой монете, .

Событие появление «герба» на второй монете, .

События и независимые .

Ответ:

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-23; Просмотров: 535; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.