Математическая логика

Ее еще называют символической логикой. М. л. - это та жесамая Аристотелева силлогистическая логика, но толькогромоздкие словесные выводы заменены в ней математическойсимволикой. Этим достигается, во-первых, краткость, во-вторых,ясность, в-третьих, точность. Приведем пример. Известныйсиллогизм. Большая посылка: "Все люди смертны". Малая посылка:"Сократ - человек". И вывод: "Следовательно, Сократ смертен".Мы можем заменить имена "Сократ", "человек" и свойство "бытьсмертным" буквами, соответственно С, х и у. Слово "все"называется квантором всеобщности - о нем мы скажем ниже. Онообозначается так называемой гротесковой перевернутой буквой А: У * Итак, запишем символически большую посылку: * У(х)(у), то есть для всех индивидов х соблюдается свойствоу - все люди смертны. Теперь запишем символически малуюпосылку С(х), то есть индивид С обладает свойством х, - Сократсмертен. И вывод: С(у), то есть индивид обладает свойством у.Сократ смертен. Теперь запишем весь силлогизм в виде импликации(логического следования): * У (х)(у)аС(х)->С(у) То есть, "если все люди смертны и Сократ человек, тоСократ смертен". Если записывать словами, то надо использоватьболее 60 символов (букв), а если символически, то нужно всего12 символов, в 5 раз меньше. Если нужно решать сложную задачу,экономия становится очевидной. Так или иначе, но только в конце ХIХ в. немецкий логикГоттлоб Фреге сформулировал символическое исчисление, и лишь вначале XХ в. Бертран Рассел и Альфред Уайтхед в трехтомномтруде "Principia Mathematica" построили стройную систему М. л. В М. л. два типа символов - переменные, которые обозначаютобъекты, свойства и отношения; и связи, символизирующиелогические отношения между предметами и высказываниями. Длянаших целей достаточно различать следующие связки: а - конъюнкция, соединение; читается как союз "и", вомногом соответствует ему по смыслу; * У - дизъюнкция, разделение; читается как союз "или"; -> - импликация, следование; "если... то..."; ~ - отрицание; "неверно, что..."; = - эквивалентность; "то же, что и..." В основе любой логической системы лежат нескольконедоказуемых очевидных аксиом, так называемых законов логики. Вобычной двузначной логике, то есть в такой логике, высказываниякоторой имеют два значения (истина и ложь), выделяют четыреосновных закона. 1. Закон тождества: р = р; то есть любое высказываниеэквивалентно самому себе. Тождество объекта самому себе -вообще исходное начало для любого мышления. Но не во всякойлогике это является законом. Например, в контексте алетическихмодальностей (см. модальности) мы можем сказать:"Возможно, что дождь идет" и "Возможно, что дождь не идет" - иэто не будет противоречием. В обычной логике пропозицийпредложения "Идет дождь" и "Не идет дождь" будутпротиворечиями. 2. Закон двойного отрицания: р = ~~р; то есть утверждениеэквивалентно его двойному отрицанию. "Дождь идет" = "Наверно,что Дождь не идет". 3. Закон исключенного третьего: * (р У ~р); то есть либо высказывание истинно, либо оноложно - третьего не дано (применимость закона исключенноготретьего ограничена конечными множества объектов; см. об этоммногозначные логики). 4. Закон противоречия: ~(р а ~р); то есть неверно, чтовысказывание может быть одновременно истинным и ложным. Следует ввести еще два понятия, одно из которых мы ужеввели в самом начале статьи. До сих пор мы говорили овысказывании как о чем-то нерасчлененном, но у высказыванияесть субъект и предикат. Часть М. л., занимающаяся отношениямимежду субъектом и предикатом высказываний, называется теориейквантификации. Свойство или отношение, которое выражаетпредикат, может быть присуще всем субъектам данного множестваили только некоторым из них. Например, высказывание "Собакибывают черными" означает, что некоторое количество собак извсего множества собак имеет свойство "быть черным". Символ, накоторый мы заменим слово "некоторые", называется кванторомсуществования, или экзистенциальным квантором, и обозначаетсягротесковой обращенной буквой * Е 3 * 3 (х)(у) - некоторые собаки черные. Но существуют свойства, характерные для всех собак.Например, у всех собак (разумеется, живых) есть голова. Символ,на который мы поменяем слово "все", это уже известный намквантор всеобщности, или универсальный квантор: * У(х)(у) - все собаки по природе обладают головой. В заключение сформулируем основной законквантифицированной логики: * У(х)(у) ->3 (х,у) То есть если данным свойством обладают все объекты, то имобладают и некоторые объекты. Кажущаяся тривиальностьзаконов логики оправдывается дальнейшим ходом мышления. Какписал Людвиг Витгенштейн, "Если вы знаете, что у вас есть руки,дальнейшее гарантируется". О том, как М. л. связана с внешним миром, см. логическая семантика. Лит.: Клини С. Математическая логика. - М., 1974. Черч А. Введение в математическую логику. - М., 1959.

Дата добавления: 2014-10-31