Тема 3.7. Оптимизация функции двух переменных в замкнутой области

Метод «наискорейшего спуска».

Этот метод называется еще «методом градиентов» и отличается от предыдущего метода тем, что при переходе от одной точке к другой к каждой из координат предыдущей точки прибавляется величина , умноженная на соответствующую координату градиента функции в предыдущей точке.

Пример. Найти наименьшее значение функции

Решение. - начальная точка вычислительного процесса и - произвольное число. Градиент функции Ф в произвольной точке М имеет координаты (, т.е. (. Тогда (.

От точки переходим к точке ). Тогда: Ф() = 2(2, Ф′(Следовательно, получается точка ). Так как и , то

Примечание. Рассмотренные выше примеры можно решить обычным методом с использованием известных необходимого и достаточного признаков экстремума функции многих аргументов.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если М₀ (х₀, у₀) - точка экстремума (максимума или минимума) функции z = f (x; у), то и равны нулю или

не существуют.

Теорема (достаточное условие экстремума).

Пусть

,, , , .

Тогда, если >0 и А>0, то М₀ (х₀; y₀)-точка минимума функции

z = f (х; у), если > 0 и А<0, то М₀ - точка максимума, если < 0, то М₀ не является точкой экстремума.

Пример. Найти точки экстремума функции

z = х ² + ху + у ² – 3 х - 3 у.

Дата добавления: 2014-10-31