При вращательном движении твердого тела под действием силы F работа равняется произведению момента этой силы на угол поворота

Работа и кинетическая энергия вращающегося тела.

Кинетическая энергия твердого тела складывается из кинетических энергий его частей Ei. Рассчитаем значение Ei для элементов твердого тела.

E_i = m_i·v_i²/2 = m_i·w²·r_i²/2.

Кинетическая энергия твердого тела будет равна:

E_к = w²/2·Sm_i·r_i² = I·w²/2. (8.13)

Заметим, что формула для расчета Eк похожа на выражение для определения кинетической энергии поступательного движения тела, только роль меры инертности в этом случае играет момент инерции, а не масса и характеристикой движения является угловая, а не линейная скорость твердого тела. Можно показать, что при произвольном движении твердого тела его кинетическая энергия Wt равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью v_c его центра масс и кинетической энергии вращения тела с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс

Рассчитаем работу силы, вызывающей вращательное движение тела вокруг некоторой оси и приложенной к произвольной точке этого тела. Согласно определению работы имеем:

dA = F ·d s = F_t·ds.

Поскольку ds = r·da, то получим следующее выражение для работы:

dA = F_t·r·da = M·da.

Работа переменной силы при повороте тела на конечный угол равняется определенному интегралу от момента сил:

.

Покажем, работа, совершаемая под действием равнодействующего момента сил, равна изменению кинетической энергии тела. Действительно,

dA = M·da = I·e·da = I·(dw/dt)·w·dt = I·d(w²/2),
где M - суммарный момент всех сил, действующих на тело.

Произведя интегрирование по углу, получим:

A₁₂ = I·w₂²/2 - I·w₁²/2 = DE_к.

Дата добавления: 2014-11-06