Признак перпендикулярности двух плоскостей. Перпендикулярность двух плоскостей

Перпендикулярность двух плоскостей

Чертеж 3.3.1.

Пусть прямая a является линией пересечения плоскостей α и β (чертеж 3.3.1). Пусть плоскость γ, перпендикулярная прямой a, пересекает плоскости α и β по прямым m и n, которые взаимно перпендикулярны, то есть γ α = m, γ β = n и m n. Такие плоскости α и β называются взаимно перпендикулярными.

Это определение не зависит от плоскости γ. Действительно, если провести другую плоскость δ, перпендикулярную прямой a, то δ || γ.

Пусть δ α = m', δ β = n'. По теореме о следах m' || m и n' || n. Угол, образованный прямыми m' и n', и угол, образованный прямыми m и n, равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.

Пусть a α, a β, тогда β α. То есть, если плоскость β содержит прямую a, перпендикулярную плоскости α, то плоскости α и βперпендикулярны.

Доказательство

Чертеж 3.3.2.

Пусть a α, a β и α β = b (чертеж 3.3.2), c – прямая, лежащая в плоскости α и проходящая через точку O пересечения прямой a с плоскостью α и с b. Через прямые a и c проведем плоскость γ. Имеем γ b, так как a b и c b. Поскольку a c, то по определениюβ α.

Пусть α β, α β = a, b a, b β, тогда b α. То есть прямая b, лежащая в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей β и перпендикулярная линии пересечения a этих плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости α.

Чертеж 3.3.3.

Доказательство

Пусть b a = A (чертеж 3.3.3), a = α β и β α. В плоскости α проведем прямую c через точку A перпендикулярно прямой a. Проведем плоскость γ через прямые b и c. Имеем γ a по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Поскольку α β, то b c, следовательно, b a и b c, откуда следует, что b α.

Дата добавления: 2014-11-06