Сложение пар, лежащих в одной плоскости. Условие равновесия пар

Следствия теоремы

Эквивалентность пар

Не изменяя оказываемого действия на твердое тело, можно пару сил, приложенную к телу заменить любой другой парой, лежащей в той же плоскости и имеющей тот же момент (рис. 3.9).

m(F) = m(P).

1. Данную пару, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары.

2. У данной пары, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.

Теорема. Система пар лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Пусть на тело действуют три пары сил с моментами: m₁, m₂, m₃ (рис. 3.10). На основании теоремы об эквивалентности пар, мы можем заменить на три пары, имеющие общее плечо (рис. 3.11):

m = åm_k.

Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю:

åm_k = 0.

Пример 2. На двухконсольную горизонтальную балку действует пара сил (P, P), на левую консоль равномерно распределенная нагрузка интенсивностью р, а в точке D правой консоли – вертикальная нагрузка Q (рис. 3.12). Определить реакции опор, если Р = 1*10⁴Н, Q = 2*10⁴Н, р = 2*10⁴Н/м, а = 0,8м.

Решение:

Согласно принципу освобождаемости от связей заменим их соответствующими реакциями (рис. 3.13). Выберем систему координат (Оху) и составим условие равновесия балки CD: Рис. 3.13

Распределенную нагрузку интенсивностью р заменим сосредоточенной силой F = p*a, приложенной к середине консоли АС.

Проекции всех сил на ось у: - F + R_Ay + R_B – Q = 0. (1) [2*10⁴*0.8 + R_Ay + R_B – 2*10⁴ = 0]

Проекции всех сил на ось x: R_Ax = 0. (2)

Так как в системе три силы неизвестны, то составим третье уравнение равновесия моментов сил: m_A(F) = F*a/2 + m(P) + R_B*AB – Q*AD = 0. (3)

2*10⁴*0.8/2 + 10⁴ + 2R_B – 3*2*10⁴ = 0.

Уравнения (1) и (3) образуют систему двух неизвестных с двумя переменными:

2*10⁴*0.8 + R_Ay + R_B – 2*10⁴ = 0; R_Ay + R_B – 0,4*10⁴ = 0;

0,8*10⁴ + 10⁴ + 2R_B – 6*10⁴ = 0. - 4,2*10⁴ = - 2R_B.

R_B = 2,1*10⁴ Н, тогда R_Ay = 0,4*10⁴ - R_B = 0,4*10⁴ - 2,1*10⁴ =1,7*10⁴ Н.

Проверка: 2*10⁴*0.8 - 1,7*10⁴ + 2,1*10⁴ – 2*10⁴ = 0.

Ответ: R_A = 1,7*10⁴ Н. (направлена вертикально вниз); R_B = 2,1*10⁴ Н, (направлена вертикально вверх).

Дата добавления: 2014-11-26