Резонанс

Резонанс – это явление возрастания амплитуды колебания в случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний.

В случае резонанса , тогда частное решение уравнения (1) следует искать в виде: .

Тогда ;

,

подставляя и в уравнение (1), получим:

.

Отсюда следует, что

, тогда: .

Частное решение имеет вид:

, (5.15)

Тогда решение уравнение (1) в случае если имеет вид:

, (5.16)

Анализ уравнения (7) показывает, что с течением времени амплитуда вынужденной силы возрастает неограниченно (рис. 5.3). Сдвиг фаз при резонансе равен .

Рис. 5.3

Задача 5.1 (32.77)

Найти уравнение прямолинейного движения точки весом , на которую действует восстанавливающая сила и сила , если в начальный момент точка находилась в положении равновесия в состоянии покоя.

Решение

Рис. 5.4

Рассмотрим положение груза при растяжении пружины, равной . Начало координат поместим в положение статического равновесия и направим ось х по направлению растяжения пружины (рис. 5.4). На груз действуют следующие силы: – сила тяжести груза; – восстанавливающая сила (сила упругости пружины), равная при выбранной системе координат величине ; – вынуждающая сила.

Составим дифференциальное уравнение движения груза:

Спроектировав это векторное уравнение на ось координат, получим:

, (1)

Подставив в уравнение (1) выражения для сил, получим:

Так как , то

.

Разделив обе части уравнения на массу, получим:

. (2)

Уравнение (2) представляет дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью. Решение этого уравнения будем искать в виде:

,

где – общее решение однородного дифференциального уравнения;

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Однородное дифференциальное уравнение имеет вид:

. (3)

Для решения этого уравнения составим соответствующее характеристическое уравнение:

.

Отсюда следует, что . Так как корни характеристического уравнения мнимые и различные, то решение уравнения (3) ищем в виде:

.

Решение ищем в виде (так как ):

.

Отсюда находим: ; .

Подставляя эти выражения в уравнение (2), получим:

.

Отсюда следует, что

.

Так как , то , следовательно

.

Тогда частное решение будет иметь вид:

.

Решение уравнения (2) тогда можно представить в виде:

. (4)

Коэффициенты С₁ и С₂ определим по начальным условиям: ; ; . Подставив начальные условия в уравнение (4), получим:

, отсюда .

Продифференцируем уравнение (4) по времени:

,

подставив значения начальных условий, получим:

, т.е. .

Тогда уравнение (4) примет вид:

.

После преобразований, получим:

, где .

Ответ: , где .

Дата добавления: 2014-11-26