Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вынужденные колебания при наличии сопротивления




Рассмотрим движение точки М массой m, на которую действуют: восстанавливающая сила , сила сопротивления , пропорциональная первой степени скорости, а возмущающая сила (рис. 5.5). Дифференциальное уравнение движения точки М будет:

 

Рис. 5.5

 

Спроектируем это векторное уравнение на ось ох, получим:

, (5.17)

Так как ; , , то

, (5.18)

разделив обе части уравнения на массу, получим:

, (5.19)

Введя обозначения: ; ; , получим

, (5.20)

Это дифференциальное уравнение неоднородное второго порядка, решение его ищем в виде:

, (5.21)

где – общее решение однородного дифференциального уравнения.

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:

, (5.22)

Для его решения составим характеристическое уравнение:

, (5.23)

Найдем корни этого квадратного уравнения:

.

При решение представлено равенством (4).

, (5.24)

где , постоянные и определяются по начальным условиям.

Частное решение ищем в виде:

, (5.25)

где и – постоянные, при которых уравнение (1) становится тождеством. Вычисляя производные , и подставляя их в уравнение (5.23) получим:

; .

Отсюда следует, что постоянные и не зависят от начальных условий. Угол характеризует сдвиг фаз между вынужденными колебаниями и возмущающей силой.

Решение уравнения (5.23) можно представить в виде:

. (5.26)

Видно, что решение (4) состоит из собственных колебаний (первое слагаемое) и вынужденных (второе слагаемое).

Собственные колебания являются затухающими.

На рис. 5.6 представлены: 5.6 а – собственные затухающие колебания; 5.6б – вынужденные колебания; 5.6 в – результирующее колебание.

 

а) б) в)

Рис. 5.6

 

 

Задача 5.2 (32.88)

На пружине, коэффициент жесткости которой г/см, подвешены магнитный стержень весом 50 г, проходящий через соленоид и медная пластинка весом 50 г, проходящая между полюсами магнита. По соленоиду течет ток ампер и развивает силу взаимодействия с магнитным стержнем дин. Сила торможения медной пластинки, вследствие вихревых токов равна , где , единиц CGS и – скорость пластины. Определить вынужденные колебания пластинки.

 

Решение

 

а) б)

Рис. 5.7

На рис. 5.7 а) схематично представлено условие задачи. Стержень силой тяжести и пластину силой тяжести представим как материальную точку силой тяжести . На рис. 5.7 б) она представлена материальной точкой С массой , где и – массы соответственно стержня и пластины.

На материальную точку С действуют: – сила тяжести, – сила упругости пружины, – сила взаимодействия магнитного стержня и соленоида, – сила торможения вследствие вихревых токов.

, где – статическое отклонение, равное ; , так как , то: .

, где , , учитывая, что , то: .

Составим уравнение второго закона Ньютона для материальной точки С, находящаяся под действием сил , , , :

. (1)

Спроектируем векторное уравнение (1) на ось х:

.

Учитывая, что и подставляя выражения сил, получим:

. (2)

После преобразования дифференциального уравнения (2), получим:

. (3)

Обозначим , , ;

, ;

, (м/с2).

По условию задачи частота возмущающей силы равна . Подставив полученные обозначения в уравнение (3), получим:

. (4)

Уравнение вынужденных колебаний будем искать в виде:

, (5)

 

где – амплитуда вынужденных колебаний, равная

, (6)

. (7)

Подставив численные значения в выражения (6) и (7), получим:

(см)

см.

или .

Подставив полученные значения в уравнение (4), получим:

, см.

 

Ответ: вынужденные колебания пластины –

см.

 

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое вынужденные колебания?

2. Что такое явление резонанса?

 

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 32.75. – 32.101. [3].

Литература: [1] – [5].

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-26; Просмотров: 1413; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.024 сек.