Вынужденные колебания точки при отсутствии сопротивления

Лекция 5

Пусть на материальную точку М массой m действуют: восстанавливающая сила и периодически изменяющаяся со временем сила , проекция которой на ось ох равна (рис. 5.1):

.

Сила называется возмущающей силой, а колебания, которые происходят под действием такой силы, называются вынужденными. Величина – называется частотой возмущающей силы, – амплитуда возмущающей силы.

Рис. 5.1

Дифференциальное уравнение движения точки М в этом случае имеет вид (в проекциях на ось ох):

, (5.1)

Разделим обе части уравнения на массу:

, (5.2)

Обозначим: , тогда

, (5.3)

Это дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка. Решение уравнения (5.1) ищем в виде:

, (5.4)

где – общее решение однородного дифференциального уравнения;

– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Для однородного дифференциального уравнения:

, (5.5)

Решение находим в виде:

, (5.6)

где С₁ и С₂ – постоянные коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

Пусть , тогда решение ищем в виде:

, (5.7)

(решение ищем в форме правой части дифференциального уравнения).

Определяя вторую производную по времени для (5.7) и подставив в уравнение (5.3), получим:

, (5.8)

Приравнивая коэффициенты при , получим:

Подставляя это выражение в уравнение (5.7), получим:

, (5.9)

Подставляя решение в уравнение (5.4), получим:

, (5.10)

Делая замену: , получим

. (5.11)

Из уравнения (5.11) видно, что колебания точки складываются из:

1) колебаний с амплитудой (зависящей от начальных условий) и частотой , называемых собственными колебаниями; 2) колебаний с амплитудой (не зависящей от начальных условий) и частотой , которые называются вынужденными колебаниями, где

, (5.12)

В случае если , т.е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, это явление называется резонансом.

– амплитуда возмущающей силы.

Разделим числитель и знаменатель на и получим:

, (5.13)

Так как , то , учитывая, что , то: , тогда

, (5.14)

– статическое отклонение от силы , т.е.

, т.е. амплитуда зависит от отношения частоты возмущающей силы к частоте собственных колебаний.

Рис. 5.2

Если стремится к нулю (или ), тогда амплитуда колебания стремится к , т.е. отношение .

Если близко к , то амплитуда становится очень большой (рис. 5.2).

Если амплитуда становится очень малой (практически равной нулю) (рис. 5.2).

Дата добавления: 2014-11-26