Закон сохранения движения центра масс

1. Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, т.е. , то . Так как , то , учитывая, что . Отсюда .

Следовательно, если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т.е. равномерно и прямолинейно. Если в начальный момент центр масс был в покое, то он и останется в покое. Действие внутренних сил не может изменить движения центра масс системы.

2. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю, но проекция этих сил на какую-нибудь ось, например, ось ОХ, равна нулю:

.

Тогда из уравнения (7.11) следует, что , тогда .

Следовательно, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности, если в начальный момент , то и в любой последующий момент , т.е. центр масс системы вдоль оси ОХ не перемещается ().

Посредством теоремы о движении центра масс можно решать как прямые, так и обратные задачи динамики. Рекомендуется следующая последовательность решения задач:

1. изобразить на рисунке все внешние силы системы;

2. выбрать систему осей координат;

3. записать теорему о движении центра масс в проекциях на декартовы оси координат;

4. вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на все оси декартовых координат и подставить их в уравнения (7.9).

Задача 7.1

К призме 3 массой прикреплены блоки А и В радиусом и , через которые перекинуты нити, к концам которых прикреплены грузы 1 и 2 массами соответственно и . Груз 1 спускается по закону . Определить нормальное давление призмы 3 на горизонтальный пол.

Решение

а) б)

Рис. 7.1

На систему, состоящую из призмы 3 и грузов 1 и 2, действуют силы: – сила тяжести груза 1; – сила тяжести груза 2; – сила тяжести груза 3; – сила реакции системы на плоскость.

Выберем систему координат ХУ с началом в точке О (рис. 7.1).

Для решения задачи используем теорему о движении центра масс системы:

, (1)

где – масса системы;

– ускорение центра масс системы.

С учетом того, что:

, (2)

где – ускорения центров масс тел системы.

Проектируя векторные уравнения (1) и (2) на ось у, получим:

, (3)

Пусть , или

, (4)

, (5)

– представляют смещения центров масс тел системы при перемещении груза 1 по наклонной плоскости.

Перемещение груза 1 по наклонной плоскости из начального положения («0») в конечное («1») составляет , а смещение центра масс груза по оси у составляет у₁, равное:

,

так как , то

, (6)

При перемещении груза 1 по наклонной плоскости на расстояние , блок, радиусом повернется на угол, равный:

.

При этом перемещении груза 2 по вертикали, равное у₂ определится:

,

, (7)

Тогда: ; ;

; .

Так как движение грузов 1 и 2 не вызывает изменение центра масс призмы 3, то: , .

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (5), получим:

.

Отсюда следует, что:

.

Сила нормального давления (R) призмы 3 на горизонтальный пол будет приложена к полу и направлена в противоположную сторону и по модулю равна силе нормальной реакции N, т.е.:

.

Ответ: Сила давления призмы на горизонтальный пол равна .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое центр масс механической системы?

2. Свойства суммы внутренних сил?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 35.1. – 35.22. [3].

Литература: [1] – [5].

Дата добавления: 2014-11-26