В дифференциальной форме. Теорема об изменении количества движения

Теорема об изменении количества движения

Количество движения механической системы

Теорема об изменении количества движения механической системы

Количеством движения системы будем называть векторную величину , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы (рис. 8.3):

.

Рис. 8.3

, (8.8)

где – масса i ^ой частицы системы;

– радиус-вектор i ^ой частицы системы;

– масса системы.

Следует, что:

, (8.9)

Продифференцируем дважды уравнение (8.9) по времени:

, или , (8.10)

Отсюда следует, что:

, (8.11)

Количество движения системы при сложном движении характеризует только поступательную составляющую движения.

Для системы, состоящей из n материальных можно составить систему дифференциальных уравнений движения:

, (8.12)

Учитывая, что:

, (8.13)

Сравнивая уравнения (8.12) и (8.13) и учитывая, что (сумма внутренних сил равна нулю), получим:

, (8.14)

Уравнение (8.14) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Проектируя векторное уравнение (8.14) на оси координат, получим:

; ; , (8.15)

Пусть в момент времени система имела количества движения , а в момент времени система имеет количества движения (рис. 8.4).

Рис. 8.4

Для перехода системы из состояния с количеством движения в состояние с количеством движения необходимо приложить силу в течении некоторого времени .

Учитывая, что:

, (8.16)

Разделяя переменные в уравнении (8.16) и интегрируя, получим:

, (8.17)

после подстановки пределов интегрирования, получим:

, (8.18)

Так как – импульс силы за время .

В проекциях на координатные оси уравнение (8.18) будет иметь вид:

; ; , (8.19)

Уравнения (8.18) и (8.19) выражают теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме.

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Дата добавления: 2014-11-26