Теорема об изменении кинетической энергии системы

Кинетическая энергия системы. Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы:

, (10.5)

где – масса ^ой части системы;

– скорость ^ой части системы.

Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы.

1. Поступательное движение.

При поступательном движении все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс, тогда:

, или

, (10.6)

где – масса системы;

– скорость центра масс.

Кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.

От направления движения значение Т не зависит.

7. Вращательное движение.

Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси OZ (рис. 10.2), то скорость любой его точки будет равна: , где – расстояние точки до оси вращения; – угловая скорость вращения тела. Тогда:

, (10.7)

Рис. 10.2

Учитывая, что – момент инерции точки массой , тогда: – момент инерции тела относительно оси OZ.

Окончательно получим:

, (10.8)

Кинетическая энергия вращательного движения тела равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение.

При плоскопараллельном движении скорости всех точек в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 10.3).

Рис. 10.3

Тогда , (10.9)

где – момент инерции тела относительно оси Р;

– угловая скорость тела.

По теореме Гюйгенса:

, (10.10)

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела;

– расстояние между осями Р и С.

Так как – скорость центра масс тела.

Подставляя формулу (10.10) в выражение (10.9), получим:

, т.е.:

, (10.11)

Учитывая, что , , тогда

, (10.12)

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

Дата добавления: 2014-11-26