Системы векторов. Базисы

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ

Пусть

– (1)

конечная система векторов,

– (2)

произвольные вещественные числа. Вектор

(3)

называется линейной комбинацией системы векторов (1) с коэффициентами (2). Говорят также, что линейно выражается через систему векторов (1).

Линейная комбинация (3) называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю: Ясно, что тривиальная линейная комбинация любой системы векторов равна нулевому вектору: Линейная комбинация (3) называется нетривиальной, если среди коэффициентов (2) есть ненулевые числа.

В математике принято различать системы векторов двух типов: линейно независимые и линейно зависимые. Системы первого типа – это такие системы векторов, для которых нулевой вектор нельзя получить никакой другой линейной комбинацией, кроме тривиальной. Такова, например, система, состоящая из одного ненулевого вектора: Действительно, равенство возможно только, если С другой стороны, легко привести примеры таких систем векторов, для которых существуют нетривиальные линейные комбинации, равные нулевому вектору. Например, такова система состоящая из двух равных векторов, так как Перейдем к точным определениям.

Определение 1.4.1. Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация системы (1), равная нулевому вектору. Система векторов, не являющаяся линейно зависимой, называется линейно независимой.

Более подробно, определение 1.4.1 означает следующее. Система векторов (1) линейно зависима, если существует набор чисел среди которых есть ненулевые, такой, что Система векторов (4) линейно независима, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору, т. е. из равенства следует, что

Далее рассмотрим алгебраические и геометрические критерии линейной зависимости и независимости векторов.

Утверждение 1.4.1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Доказательство. Если – нулевой вектор, то т.е. существует нетривиальная линейная комбинация вектора , равная нулевому вектору. Обратно, пусть для некоторого вектора существует число такое, что Переходя в последнем равенстве к длинам, получаем: Так как то т.е. 

Утверждение 1.4.2. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие.

Доказательство. Необходимость. Пусть

– (4)

линейно зависимая система векторов. Существует набор чисел среди которых есть ненулевые, такой, что

(5)

Пусть, для определенности, Умножим обе части равенства (5) на Получим:

или

Итак, вектор линейно выражается через другие векторы системы.

Достаточность. Пусть один из векторов системы (4) линейно выражается через остальные, например, Тогда

т.е. существует нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная нулевому вектору. Значит, система (4) линейно зависима. 

Упражнение 1.4.1. Докажите, система векторов является линейно зависимой, если выполняется одно из условий:

(i) система содержит нулевой вектор;

(ii) система содержит повторяющиеся векторы;

(iii) система содержит линейно зависимую подсистему.

Определение 1.4.2. Базисом множества векторов прямой называется ненулевой вектор

Теорема 1.4.1. Пусть – базис множества Тогда любой вектор линейно выражается через :

(6)

Число определяется однозначно и называется координатой вектора в данном базисе.

Доказательство. Если то т.е. Пусть Отложим векторы и от некоторой точки Получим соответственно точки А и Е на прямой , отличные от точки О (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Тогда, очевидно, если точки А и Е лежат на одном луче с вершиной в точке О, либо если точки А и Е лежат на различных лучах с вершиной в точке О. Таким образом, Для любого вектора доказана возможность представления в виде (6). Докажем единственность такого представления. Пусть наряду с (6) верно равенство:

(7)

Из (7) и (6) вытекает, что Поскольку вектор ненулевой, то , т.е. 

Итак, если на прямой зафиксирован базис, то любой вектор этой прямой имеет однозначно определяемую координату в этом базисе. Если – координата вектора в данном базисе, то используют запись Отметим, что в случае, когда длина базисного вектора равна 1, то координата вектора с точностью до знака совпадает с его длиной: если либо если

Утверждение 1.4.3. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы системы коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть – линейно зависимая система векторов. По утверждению 1.4.2, один из векторов линейно выражается через другой, т.е. или Следовательно, векторы и коллинеарны.

Достаточность. Пусть – коллинеарные векторы. Если они оба нулевые, то, очевидно, система линейно зависима. Пусть один из векторов, например, ненулевой. Отложим векторы от некоторой точки О, получим соответственно точки и лежащие на прямой проходящей через точку О. Таким образом, можно считать, что – векторы прямой причем можно взять в качестве базиса множества По теореме 1.4.1, т.е. один из векторов системы линейно выражается через другой. Согласно утверждению 1.3.2, система линейно зависима. 

Следствие 1.4.1. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

Определение 1.4.3. Базисом множества векторов плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов этой плоскости.

Теорема 1.4.2. Пусть – базис множества Тогда любой вектор линейно выражается через базис (раскладывается по базису):

(6)

Числа и определяются однозначно и называются координатами вектора в данном базисе.

Доказательство. Если вектор нулевой, то т.е. для этого вектора

Пусть Отложим векторы от некоторой точки Получим соответственно точки отличные от точки О. Обозначим прямую, проходящую через точки и – прямую, проходящую через точки и (рис.4.2).

Если вектор коллинеарен вектору , то точка А лежит на прямой В этом случае можно считать, что и – векторы прямой причем – базис множества Тогда, согласно теореме 1.4.1, Аналогично доказывается возможность представления (6) в случае, когда вектор коллинеарен второму базисному вектору.

Пусть вектор не коллинеарен ни одному из базисных векторов. Проведем через точку А прямые и , параллельные соответственно и . Пусть – точка пересечения прямых и – точка пересечения и . По построению, – параллелограмм (рис.4.2).

Рис. 4.2

Векторы и – векторы прямой причем – базис множества Согласно теореме 1.4.1, существует число такое, что Аналогично, существует число такое, что По правилу параллелограмма

Итак, для любого вектора доказана возможность разложения (6). Однозначность чисел и в (6) следует из линейной независимости векторов и Действительно, пусть наряду с (6) верно равенство

(7)

Вычисляя разность (7) и (6), получаем Так как и линейно независимы, то т.е. 

Если – координаты вектора в данном базисе, то используют запись Будем использовать также следующие матричные обозначения:

– матрица-строка базисных векторов;

– вектор -столбец координат.

В таких обозначениях вектор есть произведение матриц:

[1]

Итак, короткая матричная запись равенства (6) имеет вид:

()

Утверждение 1.4.4. Система, состоящая из трех векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы системы компланарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть – линейно зависимая система векторов. По утверждению 1.4.2, один из векторов линейно выражается через другие. Пусть, для определенности, Существует плоскость которой параллельны векторы и Поскольку линейно выражается через и , то вектор также параллелен плоскости Следовательно, векторы компланарны.

Достаточность. Пусть – компланарные векторы. Можно считать, что – векторы некоторой плоскости Если векторы и не коллинеарны, то их можно взять в качестве базиса множества По теореме 1.4.2, существуют числа такие, что Так как один из векторов линейно выражается через другие, то, по утверждению 1.4.2, система линейно зависима. Если же векторы и коллинеарны, то, согласно утверждению 1.4.3, система линейно зависима. А тогда система также линейно зависима. 

Следствие 1.4.2. Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

Определение 1.4.4. Базисом множества векторов пространства называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Теорема 1.4.3. Пусть – базис множества векторов пространства Тогда любой вектор линейно выражается через базис (раскладывается по базису):

(8)

Числа определяются однозначно и называются координатами вектора в данном базисе.

Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.4.2. Вначале доказывается возможность представления любого вектора в виде (8), а затем его единственность.

Отложим векторы от одной точки О. Возникают три точки не лежащие с точкой О в одной плоскости, три прямые определяемые соответственно парами точек и три плоскости определяемые соответственно тройками точек Вектор также откладывается от точки О, возникает точка А такая, что (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Если точка принадлежит плоскости то векторы можно считать векторами этой плоскости и поскольку векторы линейно независимы, то они составляют базис множества По теореме 1.4.2 вектор можно разложить по этому базису: Разложение (8) в таком случае имеет вид: Аналогично доказывается возможность разложения (8) в случаях, когда или

Пусть точка не принадлежит ни одной из плоскостей Спроектируем точку А на каждую прямую параллельно плоскости Возникают точки Согласно правилу параллелепипеда, верно следующее равенство:

(9)

Далее раскладываем каждый вектор по базисному вектору соответствующей прямой: Подставляя эти разложения в равенство (9), получаем искомое равенство (8).

Однозначность чисел в (8) следует из линейной независимости векторов и доказывается также, как в теореме 1.4.2.

Если – координаты вектора в данном базисе, то применяют запись Будем использовать также матричные обозначения, аналогичные случаю плоскости:

– матрица-строка базисных векторов;

– вектор -столбец координат.

В таких обозначениях короткая матричная запись равенства (8) имеет вид:

()

Утверждение 1.4.4. Любаясистема векторов пространства содержащая более трех векторов, линейно зависима.

Доказательство. Пусть – система векторов, состоящая из четырех или более векторов. Если векторы некомпланарны, то они образуют базис множества и, следовательно, четвертый вектор линейно выражается через первые три. По утверждению 1.4.2, система линейно зависима. Если же векторы компланарны, то они линейно зависимы, следовательно, линейно зависима и данная система векторов 

Утверждение 1.4.5. Координаты вектора, являющегося линейной комбинацией системы векторов, есть такие же линейные комбинации соответствующих координат векторов системы.

Доказательство. Проведемдоказательство для случая пространства, в случаях прямой и плоскости рассуждения не меняются, уменьшается только число координат. Пусть – базис множества векторов пространства – система векторов, – их линейная комбинация. Пусть – координаты вектора – координаты векторов в данном базисе.

Разложим векторы и по базисным векторам:

и подставим эти выражения в равенство . Пользуясь свойствами операций над векторами, получим:

Так как координаты вектора в данном базисе определяются однозначно, то верны равенства

выражающие заключение доказываемого утверждения.

Следствие 1.4.1. Пусть и – векторы, заданные своими координатами в некотором базисе, – вещественное число. Тогда векторы и имеют в этом базисе следующие координаты:

Среди множества всех базисов выделяют так называемые ортонормированные базисы, которые, как будет видно в дальнейшем, удобны при вычислениях.

Определение 1.4.5. Ортонормированным базисом называется базис, векторы которого попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Обычно ортонормированные базисы на плоскости обозначаются в пространстве – (рис. 4.4).

Рис. 4.4

С помощью базисов можно ввести понятие ориентации прямой, плоскости и пространства.

Пусть и – базисы прямой Направления двух ненулевых векторов прямой могут быть совпадающими, либо противоположными. В первом случае будем говорить, что базисы и одинаково ориентированы, во-втором – противоположно ориентированы. Очевидно, что отношение одинаковой ориентируемости является отношением эквивалентности [2]в множестве всех базисов. Следовательно, множество всех базисов разбивается на классы эквивалентности – классы одинаково ориентированных базисов. Понятно, что таких классов ровно два, столько же, сколько направлений на прямой. Выбор одного из двух классов одинаково ориентированных базисов называется ориентацией прямой. Таким образом, на прямой есть две ориентации; ориентировать прямую означает выбрать на ней одно из двух направлений.

Пусть – базис на плоскости . Отложим векторы и от некоторой точки О, получим соответственно точки и , не лежащие на одной прямой с точкой О (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Отрезок можно повернуть вокруг точки О на угол, не превосходящий полный угол так, чтобы он наложился на отрезок Cуществует два различных направления такого поворота. Поворачиваясь в одном направлении, отрезок «заметет» угол, величина которого меньше поворачиваясь в другом направлении, отрезок «заметет» угол, величина которого больше Разумеется, направления поворотов и величины соответствующих углов не зависят от выбора точки О. Допуская вольность речи, будем говорить, что поворачивая отрезки вокруг точки, мы поворачиваем соответствующие векторы вокруг этой точки.

Пусть и – базисы на плоскости Будем говорить, что эти базисы одинаково ориентированы, еслинаправления кратчайших поворотов первых базисных векторов до вторых в обоих базисах совпадают. В противном случае говорят, что базисы противоположно ориентированы. На рисунке 4.6, а) изображены одинаково ориентированные базисы, на рисунке 4.6, б) – противоположно ориентированные базисы.

а) б)

Рис. 4.6

Как и в случае прямой, отношение одинаковой ориентируемости базисов на плоскости, очевидно, является отношением эквивалентности в множестве всех базисов плоскости. Следовательно, множество всех базисов разбивается на классы эквивалентности – классы одинаково ориентированных базисов. Ясно, что таких классов ровно два, столько же, сколько направлений поворотов вокруг точек. Выбор одного из двух классов одинаково ориентированных базисов называется ориентацией плоскости. Таким образом, на плоскости есть две ориентации; ориентировать плоскость означает выбрать на ней одно из двух возможных направлений поворотов вокруг точек (рис. 4.7, а), б)).

а) б)

Рис. 4.7

В пространстве также как в случаях прямой и плоскости множество всех базисов разбивается на два класса, определяющих две ориентации пространства. Однако, в отличие от случаев прямой и плоскости, где невозможно отличить одну ориентацию от другой, в пространстве ориентации различаются, и одна из них называется правой, а другая – левой. Соответственно, базисы, составляющие первый класс, называются правыми,а базисы, составляющие второй класс, – левыми.

Пусть – базис в пространстве . Отложим векторы от некоторой точки О, получим соответственно точки Обозначим плоскость, проходящую через точки (рис. 4.8).

а) б)

Рис. 4.8

Поскольку векторы, составляющие базис, не компланарны, то точка не лежит в плоскости а лежит в одном из двух полупространств, на которые пространство разбивается плоскостью . Базис называется правым, если, глядя на плоскость из точки (из «конца» вектора ), мы видим кратчайший поворот вектора до вектора происходящим в направлении, противоположном направлению поворота часовой стрелки (рис. 4.8, а). Базис называется левым, если, глядя из «конца» вектора , мы видим кратчайший поворот вектора до вектора происходящим в направлении движения часовой стрелки (рис. 4.8, б). Моделями правого и левого базисов могут служить первые три пальца руки человека, соответственно правой и левой, расположенных в естественном положении (рис.).

Этим объясняется употребление терминов правый и левый. Пользуясь этими моделями, легко убедиться, что справедливы следующие свойства ориентации:

(i) перестановка любых двух векторов в упорядоченной тройке некомпланарных векторов меняет ориентацию на противоположную;

(ii) замена одного из векторов в упорядоченной тройке некомпланарных векторов на противоположный вектор меняет ориентацию на противоположную.

Пусть – три некомпланарных вектора. На их основе можно образовать 6 различных упорядоченных троек, из которых три тройки правых и три – левых. Действительно, зафиксируем одну их них – упорядоченную тройку Каждая из троек получена из данной перестановкой двух элементов, следовательно, каждая из троек имеет ориентацию, противоположную ориентации тройки С другой стороны, тройки и можно получить из тройки два раза переставляя пары элементов, следовательно, тройки имеют одинаковую ориентацию.

[1] Здесь в записи произведения вектора на число мы не различаем обозначения и

[2] См. [ ], §

Дата добавления: 2014-11-09