![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства
1. (a,b,c)=0 тогда и только тогда, когда {a,b,c} компланарны. 2. Если поменять местами два соседних сомножителя, то смешанное произведение поменяет знак на противоположный. (a,b,c)= -(b,c,a). 3.При круговой перестановке смешанное произведение не меняется. (a,b,c)= (b,c,a)= (c,a,b) (b,a,c)= (a,c,b)= (c,b,a). 4. Числовой множитель можно выносить за знак произведения. (la,b,c)=l (a,b,c).
5. Смешанное произведение векторов дистрибутивно (a+b,c,d)= (a,c,d)+(b,c,d).
Вычисление смешанного произведения трёх векторов в координатах Пусть в пространстве задана декартовая прямоугольная система R=={O,(i,j,k)}и относительно этой системы заданы векторы a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), с=(с1,с2,с3).
с=(с1,с2,с3).
То есть смешанное произведение это число, равное определителю, строки которого составлены из координатных строк векторов, входящих в смешанное произведение. Смешанное произведение трёх векторов применяется для решения задач на вычисление объёмов многогранников.
Линейная комбинация векторов и разложение вектора по системе векторов. Линейной комбинацией векторов Пример 1. Дана система векторов
Найти линейную комбинацию: Решение. Вектор С помощью векторов удобно записывать систему уравнений:
Тогда систему (1.1) можно записать так: или Если совокупность чисел Таким образом, чтобы найти разложение вектора
Линейно-зависимые и линейно независимые системы векторов. Система векторов
Система векторов называется линейно-независимой, если из данных векторов нельзя составить нулевую линейную комбинацию с отличными от нуля коэффициентами, т.е. для линейно-независимой системы векторов выражение (1.3) справедливо тогда, когда все коэффициенты Справедливы следующие утверждения. Лемма. Если часть системы векторов линейно-зависима, то и вся система векторов линейно-зависима. Теорема 1. Если система векторов линейно-зависима, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов. Следствие 1. Если хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные векторы, то система линейно-зависима. Следствие 2. В линейно-независимой системе ни один из векторов нельзя выразить через остальные. Теорема 2: Если каждый из векторов системы Теорема 3: В n-мерном пространстве любая система, содержащая более чем n векторов линейно - зависима. Следствие: В n-мерном пространстве любая линейно – зависимая система может содержать не более n векторов. Таким образом, на плоскости линейно – независимыми могут быть только два вектора. Любой третий вектор можно представить линейной комбинацией этих двух векторов. В 3-х мерном пространстве линейно - независимыми могут быть не более трёх векторов и т.д. Пример: Является ли система векторов Решение: Составляем нулевую линейную комбинацию:
(1;0;0)λ1 + (0;1;0)λ2 + (0;0;1)λ3 =(0;0;0)
Все значения
Ранг и базис системы векторов Наибольшее число r линейно-независимых векторов данной системы (n-мерного пространства) называется рангом данной системы векторов (n-мерного пространства). Базисом системы векторов, имеющей ранг r, называется любая группа из r линейно-независимых векторов данной системы. Базисом n-мерного пространства является любая система из n линейно-независимых векторов. Базисов в n-мерном пространстве бесчисленное множество, один из них система из n n-мерных ортов:
Такой базис называется единичным. Теорема: Если набор Такое представление называется разложением вектора Пример: Дана система векторов Показать, что векторы Найдем решение системы уравнений: (-1; 2; 0)λ1+(3; 1; -1)λ2+(4; 0; 2)λ3=(-3; 5; -3). Решив систему получили единственное решение системы уравнений:
Дата добавления: 2014-11-09; Просмотров: 392; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |