Формула полной вероятности

Если известно, что событие А может произойти вместе с од­ним из событий H₁, H₂,..., H_n, образующих полную группу несо­вместных событий, то событие А можно представить как объеди­нение событий АН₁,АН₂,...,АН_п, т.е. А =АН₁ +АН₂ +... + АН_n. Вероятность события А можно определить по формуле, используя теоремы вероятностей суммы несовместных событий и произве­дения зависимых событий:

,

или

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 13. В пяти ящиках находятся одинаковые по разме­рам и весу шары. В двух ящиках - по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава H₁). В двух других ящиках (состава H₂) - по 8 голубых и 2 красных шара. И в пятом ящике (состава H₃) - 8 красных и 2 голубых шара. Наудачу выбирается ящик, и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

Решение. Событие, состоящее в том, что «извлечен красный шар» обозначим через А. Из условия задачи следует, что , , .

Вероятность вынуть красный шар, если известно, что взят ящик первого состава Н₂, будет определяться так:

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик второго состава H₂, будет

. Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик третьего состава Н₃, будет .

При n = 3 находим искомую вероятность

.

Пример 14. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятность выпуска бракованных лампочек соответственно равны: q_] = 0,01, q₂ = 0,005, q₃ = 0,006. Найти вероятность того, что нау­дачу взятая из партии лампочка окажется стандартной.

Решение. Введем обозначения: А - событие, состоящее в том, что «из партии взята стандартная лампочка», H₁ - событие, состоящее в том, что «взятая лампочка изготовлена первым заво­дом», Н₂ - событие, состоящее в том, что «взятая лампочка изго­товлена вторым заводом», Н₃ - событие, состоящее в том, что взятая лампочка изготовлена «третьим заводом». Найдем условные вероятности

Р(А/Н_i), (i = 1,2,3) по формуле Р(А/Н_i) = 1 -Р( / Н_i), где - событие, противоположное событию А (взята нестандартная лам­почка):

,

,

.

Из условия задачи следует, что Р(Н₁) = 0,2, Р(Н₂) = 0,3, Р(Н₃) = 0,5.

Получим по формуле полной вероятности:

Дата добавления: 2014-11-20