Формулы Бейеса

Пусть H₁, H₂,..., H_n - попарно-несовместные события, веро­ятность которых P(H_i)≠ 0, (i = 1,2,..., п) и событие АÌ H₁ + H₂ +... + Н_п, для которого известны условные вероятно­сти Р(А/Н_k), (i = 1,2,..., п). Произведен опыт, в результате кото­рого появилось событие А. Условные вероятности событий

H₁, H₂,..., H_n относительно события А определяются формулами

или

где - формула полной вероятности.

Формулы называют формулами Бейеса.

Замечание. Вероятности Р(H_k) (k = 1,2,..., п) событий H₁, H₂,..., H_n до опыта называются априорными вероятностями (что означает «сперва», т.е. в данном случае до того, как был про­изведен опыт). Вероятности Р(H_k) (k = 1,2,..., п) тех же событий называются апостериорными (что означает «после», т.е. в данном случае после опыта).

Пример 15. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и размерам шары. В двух ящиках - по 6 зеленых и 4 красных шара (по ящик состава H₁). В двух других ящиках (состава H₂) - по 8 зеленых и 2 красных шара. В одном ящике (состава H ₃) - 2 зеле­ных и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик, и из него извлекается шар. Извлеченный шар оказался голубым. Какова вероятность того, что зеленый шар извлечен из ящика первого состава?

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что и i ящика извлечен голубой шар. Из условия задачи следует, что

; ; .

Вероятность вынуть голубой шар, если известно, что взят ящик состава H₁, H₂,..., H₃ соответственно будут равны:

;

;

.

По формуле полной вероятности находим Р(А) = 0,4 • 0,6 + 0,4 • 0,8 + 0,2 • 0,2 = 0,6.

По формуле Бейеса найдем искомую вероятность

.

Пример 16. На предприятии изготавливаются изделия оп­ределенного вида на трех поточных линиях. На первой линии про­изводится 30% изделий от общего объема их производства, на второй - 25%, на третьей - остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности линий: 97%, 98%, 96%. Наугад взятое изделие, выпу­щенное предприятием, оказалось бракованным. Определить веро­ятности того, что это изделие изготовлено на первой, второй и третьей линиях.

Решение. Введем обозначения: А - событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным; H₁, H₂,..., H₃ - гипотезы, состоящие в том, что изделие изготовлено соответственно на первой, второй и третьей линиях.

В соответствии с условием задачи имеем:

; ; ; , , .

По формуле полной вероятности получаем:

Р(А) = 0,30 • 0,03 + 0,25 • 0,02 + 0,45 • 0,04 = 0,032.

В соответствии с формулой Бейеса находим искомые веро­ятности:

;

;

.

Дата добавления: 2014-11-20