Критерии значимости для проверки гипотез о средних нормально распределенной генеральной совокупности

Критерий Бартлетта для сравнения дисперсий нескольких совокупностей

Критерии значимости для проверки гипотез о дисперсиях нормально распределенной генеральной совокупности

Проверяемая гипотеза Н0	Предположение относительно т	Статистика Z критерия*	Распределение Z: f(z/H0)	Область принятия гипотезы Н0 для двустороннего критерия	Альтернативная гипотеза и область принятия гипотезы Н0 для правостороннего критерия
	т известно
т неизвестно,
	т1 и т2 известны	,
т1 и т2 неизвестны, ,	,

* Значение статистики z приведено при условии, что верна гипотеза Н₀.

Таблица 7

Н0	Предположение относительно тi	Статистика Z критерия*	f(z/H0)	Область принятия гипотезы
	тi неизвестны, i= 1, 2, …, l	, где , .

* Значение статистики z приведено при условии, что верна гипотеза Н₀.

Таблица 8

Проверяемая гипотеза Н0	Предположение относительно	Статистика Z критерия*	Распределение Z: f(z/H0)	Область принятия гипотезы Н0 для двустороннего критерия	Альтернативная гипотеза и область принятия гипотезы Н0 для правостороннего критерия
	известна				;
неизвестна				;
	и известны				;
и неизвестны, причем гипотеза Н0: принимается, ;	, где			;
и неизвестны, причем гипотеза Н0: отклоняется, ;		, где		;

* Значение статистики z приведено при условии, что верна гипотеза Н₀.

12.4. Проверка гипотез о параметре р биномиального распределения

При статистическом анализе данных, связанных с повтор­ными независимыми испытаниями (схемой Бернулли), рассматри­вают два типа задач: сравнение вероятности «успеха» р в одном испытании с заданным значением р₀ и сравнение вероятностей «успеха» в двух сериях испытаний.

В первом случае проверяется гипотеза Н₀: р = р₀. Пусть в п испытаниях по схеме Бернулли «успех» произошел х раз. В каче­стве статистики критерия выбирают относительную частоту h = x/n, nh > 5, n (1- h) > 5. При больших значениях n (n >50) и при выполнении условий nh > 5, n (1- h)>5 распределение слу­чайной величины h в достаточной для практических расчетов точ­ностью аппроксимируется нормальным распределением . Отсюда следует, что если гипотеза Н₀ верна, то статистика имеет распределение, близкое к нормальному распределению N (0,1). Критическая область крите­рия при уровне значимости α определяется неравенствами:

z_B > u _1-α при альтернативной гипотезе ,

z_B < u _α при альтернативной гипотезе ,

|z_B| > u _1-α/2 при альтернативной гипотезе .

Для проверки гипотезы Н ₀: р = р ₀ также можно использо­вать доверительные интервалы для параметра р. При этом гипоте­за Н ₀ принимается на уровне значимости α, если соответствую­щий односторонний или двусторонний доверительный интервал накрывает значение р ₀; иначе гипотеза Н ₀ отклоняется.

Рассмотрим решение следующего типового примера.

Пример 54. Предполагается, что большая партия деталей содержит 15 % брака. Для проверки из партии случайным образом отобрано 100 деталей, среди которых оказалось 10 бракованных.

Считая, что число бракованных деталей в партии имеет биноми­альное распределение, и используя двусторонний критерий при α = 0,05, проверить предположение о том, что в партии содер­жится 15 % бракованных деталей.

Решение. Проверяется гипотеза Н ₀: р = 0,15 при альтернативной гипотезе Н ₁: р ≠ 0,15. Значение . Так как п > 50, nh = 10 и n (1 - h) = 9, то для проверки гипотезы Н ₀ мож­но использовать известную статистику. Выборочное значение этой статистики:

.

По таблице приложений (П1) находим u _0,975 = 1,96. Значение |z_B| лежит в области принятия гипотезы Н ₀, следовательно, пред­положение о том, что в партии содержится 15 % брака, согласует­ся с результатами наблюдений. Этот же результат получим, ис­пользуя двусторонний доверительный интервал (0,041;0,159) для р при доверительной вероятности 0,95. Так как этот доверитель­ный интервал накрывает значение р = 0,15, гипотеза Н ₀ прини­мается.

13.5. Проверка гипотез о коэффициенте корреляции р.

Пусть r - выборочный коэффициент корреляции, вычислен­ный по выборке объема п из генеральной совокупности, имеющей двумерное нормальное распределение.

Для проверки гипотезы Н₀:ρ = ρ₀, где ρ₀ - заданное зна­чение, используют статистику:

.

Если гипотеза Н ₀ верна, то эта статистика имеет распреде­ление, близкое к нормальному N(0,1).

Критическая область критерия при уровне значимости α определяется неравенствами:

z_B > u _1-α при альтернативной гипотезе ,

z_B < u _α при альтернативной гипотезе ,

|z_B| > u _1-α/2 при альтернативной гипотезе .

В случае, когда нужно определить значимость выборочного значения коэффициента корреляции r, т.е. проверить гипотезу Н ₀: ρ = 0, можно использовать другой критерий, статистикой которого является r. На уровне значимости α критическая об­ласть этого критерия определяется неравенствами

при альтернативной гипотезе ;

при альтернативной гипотезе ;

при альтернативной гипотезе .

Пример 55. Из генеральной совокупности, имеющей дву­мерное нормальное распределение, получена выборка объема n = 67. Выборочный коэффициент корреляции оказался равным r =-0,159. Можно ли считать, что наблюдаемые переменные от­рицательно коррелированны, если уровень значимости α = 0,05?

Решение. Проверим гипотезу Н ₀: ρ = 0 при альтернативной гипотезе . Вычислим выборочное значение статистики критерия. Значение Arth r находим по таблице приложений (П8).

Имеем .

Используя таблицы приложений, находим, что u _0,05 = -1,645. Отсюда делаем вывод о том, что выборочное значе­ние статистики критерия принадлежит области принятия гипотезы Н ₀, следовательно, наблюдаемые переменные некоррелированы.

Такой же результат получим, воспользовавшись критерием, статистикой которого является r. Найдем границу критической области при альтернативной гипотезе . Определим кван­тили t _0,05 (65)= t _0,95 (65)≈-1,67 (таблица приложений (П6)). Вы­числим границу критической области:

Выборочное значение r = -0,159 статистики принадлежит области принятия гипотезы Н ₀, то гипотеза Н ₀ принимается; от­сюда следует, что наблюдаемые переменные некоррелированы.

Пусть r₁ и r ₂ - выборочные коэффициенты корреляции, вы­численные по выборкам объема п₁ и п₂ из генеральных совокуп­ностей, имеющих двумерное нормальное распределение. Для проверки гипотезы используют статистику:

.

При условии, что гипотеза Н ₀ верна, рассматриваемая статистика имеет распределение, близкое к нормальному распреде­лению N(0,1). Критическая область критерия при уровне значи­мости α определяется неравенствами:

z_B > u _1-α при альтернативной гипотезе ,

z_B < u _α при альтернативной гипотезе ,

|z_B| > u _1-α/2 при альтернативной гипотезе .

Пример 56. Сравнить коэффициенты корреляции двух нор­мально распределенных генеральных совокупностей по следую­щим выборочным данным: r₁ = 0,77, п₁ = 28, r ₂ = 0,604, п₂ = 33. Считать α =0,10.

Решение. Имеем ; . Вычислим выборочное значение данной статистики критерия:

.

Так как и_0,95 ≈1,645, то выборочное значение статистики критерия принадлежит критической области; коэффициенты кор­реляций генеральных совокупностей следует считать различными.

12.6. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез.

Следует заметить, что на множестве значений статистики критерия можно выбрать сколько угодно критических областей V_K для заданного уровня значимости α, однако соответствующие им критерии будут иметь различные вероятности ошибок второго рода.

Наилучшей критической областью (НКО) называют крити­ческую область, которая при заданном уровне значимости α обеспечивает минимальную вероятность ошибки второго рода. Критерий, использующий НКО, имеет максимальную мощность.

При проверке простой гипотезы Н ₀ против простой альтер­нативы Н ₁ НКО определяется леммой Неймана - Пирсона: НКО критерия заданного уровня значимости α состоит из точек, выборочного пространства (выборок объема п), для которых удовлетворяется неравенство , где с_α - константа, зависящая от заданного уровня значимости, - элементы выборки, а -функция правдоподобия, вычисленная при условии, что верна гипотеза Н_i,i = 0,1.

Для рассмотренных выше критериев значимости, НКО раз­мещаются на «хвостах» распределений статистик критериев.

Пример 57. Пусть случайная величинах имеет нормальное распределение N(m, σ) с известной дисперсией σ².

а) Найти НКО для проверки гипотезы Н₀:т = т₀ против простой альтернативной гипотезы Н ₁ :m = m₁, где т₁ > т₀.

б) Найти функцию мощности критерия и вычислить ее зна­чение при значениях т₁ = 1 и т₁ = 5, если т₀ = 0, объем выборки п = 25, дисперсия генеральной совокупности σ² = 25. Принять уровень значимости α = 0,05.

Решение. а) Запишем отношение функций правдоподобия:

,

где , . По лемме Неймана - Пирсона НКО содержит только те точки выборочного пространства, для которых удовлетворяется неравенство :

,

причем по условию задачи т₁ - т₀ > 0. Так как отношение правдоподобия является убывающей функцией аргумента , условие леммы удовлетворяется при , где граница критической об­ласти х_к находится по заданному уровню значимости α из соот­ношения .

При условии, что справедлива гипотеза Н₀, имеет нормальное распределение , следовательно,

.

Отсюда следует, что:

.

Таким образом, граница х_к критической области равна , а НКО V _K имеет вид .

б) Найдем функцию мощности полученного критерия:

.

При значениях т₁ = 1, т₀ = 0, α = 0,05, n = 25, σ² = 25 мощность критерия

.

Если т₁ = 5, то мощность критерия

.

12.7. Критерий χ² и его применение

а) Проверка гипотезы о виде распределения генеральной со­вокупности.

Пусть х₁,х₂,...,х_n - выборка наблюдений случайной величи­ны X. Проверяется гипотеза Н ₀, утверждающая, что χ² имеет функцию распределения F_x (x).

Проверка гипотезы Н ₀ при помощи критерия χ² осуществляется по следующей схеме: по выборке наблюдений находят оценки неизвестных параметров предполагаемого закона распределения случайной величины X. Далее, область возможных значе­ний случайной величины X разбивается на r множеств Δ₁, Δ₂,…, Δ_n, например, r интервалов в случае, когда Х - непре­рывная случайная величина, или r групп, состоящих из отдель­ных значений, для дискретной случайной величины X.

Пусть n _k - число элементов выборки, принадлежащих множеству Δ_k, k = 1,2,..., r. Тогда . Используя предполагаемый закон распределения случайной величины X, находят вероятности р_k того, что значение X принадлежит множеству Δ_k, т.е.

р_k = Р [ Х Î Δ_k], k = 1,2,..., r. Очевидно, что . Полученные результаты можно представить в виде следующей таблицы:

	Число наблюдений	Всего
	Δ1	Δ2	…	Δr
Наблюдаемое	n 1	n 2	…	n r	п
Ожидаемое	np 1	np 2	…	np r	п

Выборочное значение статистики критерия χ² вычисляется по формуле .

Гипотеза Н₀ согласуется с результатами наблюдений на уровне значимости α, если

,

где квантиль порядка 1- α распределения χ² с r-l -1 степенями свободы, а l - число неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборке; если же , то гипотеза Н₀ отклоняется.

Замечание. Критерий χ² использует тот факт, что случай­ная величина , k = 1,2,..., r, имеет распределение, близкое к нормальному N (0,1).Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие пр_к ≥ 5. Если в некоторых интервалах это условие не вы­полняется, то их следует объединить с соседними.

Пример 58. В первых - двух столбцах таблицы 9 приведе­ны данные об отказах аппаратуры за 10000 часов работы. Общее число обследованных экземпляров аппаратуры n =757, при этом наблюдался отказ:

0·427+ 1·235+ 2·72 + 3·21+ 4·1+ 5·1 = 451

Таблица 9

Число отказов, k	Количество слу­чаев, в которых наблюдалось k отказов, пk		Ожидаемое число случаев с k отказами, прk
		0,54881
		0,32929
		0,09879
		0,01976
		0,00296
		0,00036
≥6		0,00004
Сумма		-	-

Проверить гипотезу о том, что число отказов имеет распре­деление Пуассона:

, k =0, 1, …, при α= 0,01.

Решение. Оценка параметра λ равна среднему числу отка­зов: . По таблице приложений (П3) с λ = 0,6 находим вероятности р_k и ожидаемое число случаев с k отказами (третий и четвертый столбцы таблицы 10).

Для k = 4,5 и 6 значения пр_k < 5, поэтому объединяем эти строки со строкой для k = 3. Итак, получаем значения, приведен­ные в таблице 9.

Таблица 10

k	пk	прk
	427		0,291
			0,787
			0,120
≥3			2,118
-	-	-

Так как по выборке оценивался один параметр λ, то l = 1, число степеней свободы равно 4-1-1 = 2. По таблице приложе­ний (П5) находим χ² _0,99(2) = 9,21, гипотеза о распределении числа отказов по закону Пуассона принимается.

Пример 59. Проверить гипотезу о нормальном распределе­нии выборки из примера 51. Принять α = 0,1.

Решение. Объем выборки п = 55. Для проверки гипотезы о нормальном распределении нужно найти оценки математического ожидания и дисперсии. Имеем

,

.

Воспользуемся результатами группировки выборки примера 50, расширив первый и последний интервалы. Результаты группиров­ки приведены во втором и третьем столбцах таблицы 11.

Таблица 11

Номер интервала k	Границы интервала Δ k	Наблюдаемая частота nk	Вероятность попадания в интервал Δ k, pk	Ожидаемая частота, npk	npk	nk - npk
	- ∞ -
			0 0228		5,274
	12-14		0,0731	0,725	0,010
	14-16		0,1686	9,273	9,273	-1,273	0,175
	16-18		0,2576	14,168	14,168	-2,168	0,332
	18-20		0,2484	13,662	13,662	-2,338	0,400
	20-22		0,1519		12,633
	22-		0,0778	0,366	0,011
	+ ∞
	Сумма		1,0001			-	0,928

В четвертом столбце таблицы 11 приведены вероятности р_k, вычисляемые по формуле:

,

где а_к и b_к - соответственно нижняя и верхняя границы интерва­лов, а значения функции Ф(х) берутся из таблицы приложений (П1). В пятом столбце приводятся ожидаемые частоты пр_k, а в шестом - значения пр_k после объединения первых двух и послед­них двух интервалов.

Так как после объединения осталось r = 5 интервалов, а по выборке определены оценки двух параметров, т.е. l = 2, то число степеней свободы равно 5-2-1 = 2.

По таблице приложений (П5) находим χ² _0,90(2) = 4,61. Вы­борочное значение статистики критерия равно χ² _B = 0,928, следо­вательно, гипотеза о нормальном распределении выборки прини­мается.

б) Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин.

Пусть проведено п экспериментов, результаты которых яв­ляются значениями дискретных случайных величин X и Y, кото­рые принимают соответственно значения x₁,x₂,...,x_k и у₁,у₂,...,у_l.

Обозначим п_ij число экспериментов, в которых X = х_i и Y =y_j, i = 1,2,..., k; j = 1,2,..., l. Если Х и Y- непрерывные случайные ве­личины, то область значений каждой из них разбивается на конечное число интервалов. В этом случае п_ij - число эксперимен­тов, в которых случайная величина X попала в i -й интервал, а случайная величина Y -в j -й интервал. Результаты п экспери­ментов можно представить в виде таблицы сопряженности при­знаков размера k x l (таблица 12).

Проверяется гипотеза Н₀, утверждающая, что случайные величины X и Y независимы. Если гипотеза Н₀ верна, то по опре­делению:

.

Пусть и -оценки вероятностей р_i и q_j.
Если гипотеза Н₀ верна, то ожидаемое число эксперимен­тов , в которых случайная величина X попала в i- й интервал, а случайная величина Y - в j -й интервал, равно

.

Для проверки гипотезы Н₀ по критерию χ² используют следующую статистику: .

При условии, что гипотеза Н₀ верна, а все ожидаемые частоты ≥ 4, i = 1,2,..., k; j = 1,2,..., l, указанная статистика имеет распределение χ² с (k ^_1)(l -1) степенями свободы.

Гипотеза Н₀ о независимости случайных величин X и Y принимается на уровне значимости α, если выборочное значение этой статистики меньше квантили χ² _1-α((k -1)(l -1)), т.е. если χ² _В< χ² _1-α((k -1)(l -1)).

Если χ² _В≥ χ² _1-α((k -1)(l -1)) гипотеза Н₀ отклоняется. Для вычисления выборочного значения статистики крите­рия удобно использовать формулу

.

Замечания. 1. Если ожидаемые частоты n_ij для некоторых клеток таблицы 12 не удовлетворяют условию ≥ 4, то соответ­ствующие строки и столбцы должны быть объединены с соседни­ми строками и столбцами.

Таблица 12

Y X	y 1	y 2	…	yl
x 1	n 11	n 12	…	n 1 l	n 1
x 2	n 21	n 22	…	n 2 l	n 2
…	…	…	…	…	…
xk	nk 1	nk 2	…	nkl	nk
	n 1	n 2	…	nl	n••=n

2. Если (k -1)(l -1)≥8 и n ≥40, то минимальное допусти­мое значение ожидаемых частот может быть равным единице.

Случайные величины X и Y можно рассматривать как два признака, по которым классифицируется выборка объема п; неза­висимость X и Y соответствует независимости этих признаков.

Во многих случаях требуется проверить гипотезу об одно­родности нескольких выборок или, другими словами, гипотезу о том, что эти выборки получены из одной генеральной совокупности. Если проверяется однородность k различных выборок с объе­мами п₁,п₂,...,п_k и эти выборки могут быть записаны в виде таб­лицы сопряженности признаков размера k х l (см. табл. 12), то для проверки используется тот же критерий, что и для проверки неза­висимости двух признаков.

Пример 60. Комплектующие изделия одного наименования поступают с трех предприятий А, В и С. Результаты проверки из­делий следующие:

Результаты проверки	Поставщики	Всего
А	В	С
Годные
Негодные
Всего

Можно ли считать, что качество изделий не зависит от по­ставщика? Принять α = 0,10.

Решение. Проверим гипотезу о независимости двух призна­ков: качества изделия и места его изготовления. Находим

;

число степеней свободы (2 —1)(3 — 4) = 2. Так как по таблице при­ложений (П5) χ² _0,90(2) = 4,605, то это означает, что качество из­делий не зависит от поставщика.

Заметим, что утверждение о том, что качество изделий не зависит от поставщика, можно трактовать как проверку гипотезы об однородности трех выборок изделий объемом 30, 40 и 60, по­лученных соответственно от поставщиков А, В и С.

12.8. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения

Сущность критерия Пирсона состоит в сравнении эмпири­ческих и теоретических частот. Эмпирические частоты находят из опыта. Как найти теоретические частоты, если предполагается, что генеральная совокупность распределена нормально?

Укажем один из способов решения этой задачи.

1. Весь интервал наблюдаемых значений X делят на s частич­ных интервалов (х_i; х_{i +1}) одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов ; в качестве частоты n_i вари­анты принимают число вариант, которые попали в i -й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вари­ант и соответствующих им частот:

, п₁,п₂,...,п_s,

причем .

2. Вычисляют, например, методом произведений или сумм, выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение σ^*.

3. Нормируют случайную величину X, т.е. переходят к вели­чине: , и вычисляют концы интервалов (z_i; z_{i +1}):

, ,

причем наименьшее значение, т.е. z ₁ полагают равным -∞, а наибольшее, т.е. z_s полагают равным ∞.

4. Вычисляют теоретические вероятности p_i попадания х в интервалы (х_i; х_{i +1})по равенству (Ф(z) функция Лапласа)

и наконец находят искомые теоретические частоты n_i’ = np_i.

12.9. Модель применения критериев

Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения, представленная на рисунке 17.

Рис. 17

13. Рекомендации представления результатов статистиче­ской обработки для различных критериев и методов анализа «Метода проверки гипотез или статистических критериев»

п/п	Метод проверки гипотез или статистический критерий	Содержание рекомендуемого описания
	Проверка гипотез о законе распределе­ния	Наименование закона распределения, на соответст­вие которому производится проверка. Название статистического критерия, с помощью которого производится проверка гипотез, полученная вели­чина данного критерия и отвечающее ему значение достигнутого уровня значимости.
	Проверка равенст­ва двух законов распределения вероятностей	Сформулировать причины проверки данной гипоте­зы, указать статистический критерий для проверки его значения и достигнутый уровень значимости. Сделать вывод о том, какая из гипотез принимает­ся, и какой из этого следует вывод применительно к целям исследования.
	Проверка нор­мальности распре­деления вероятно­сти	Сформулировать причины проверки данной гипоте­зы, указать статистический критерий для проверки его значения и достигнутый уровень значимости. Сделать вывод о том, какая из гипотез принимается и какой из этого следует вывод применительно к целям исследования. Желательно привести график распределения на «вероятностной бумаге».
	Критерий Колмо­горова-Смирнова	Указать, какой именно из семейства критериев использовался в конкретном случае и цель его применения (сформулировать проверяемые гипоте­зы). Привести значение критерия и достигнутый уровень значимости. По результатам проверки сформулировать вывод относительно выдвигаемых гипотез.
	Уровень значимо­сти «р=...»	Обязательное указание, к какому конкретному статистическому критерию относится данное зна­чение уровня значимости. Не употреблять выраже­ния вида «р <...» или «р >...».
	Оценка дескрип­тивных статистик	Объем выборки (подгрупп), среднее, стандартное отклонение, ошибка среднего. При сравнении вариабельности двух и более признаков - коэффи­циент вариации. Обязательно сообщить, использовались ли методы оценки аномальных наблюдений (выбросов) и если - да, то какие. Сообщить, применялись ли методы робастного оценивания (Пуанкаре, Винзора, Хубера и т.д.)
	Проверка гипотез о равенстве диспер­сий с помощью F — критерия Фишера	Предварительно провести проверку имеющегося ограничения на использование F - критерия Фише­ра. Вычислить значение критерия и достигнутого уровня значимости. Сделать вывод о том, какая из конкурирующих гипотез принимается, дать интер­претацию этого результата.
	Проверка гипотез о равенстве диспер­сий с помощью критериев Кохрэта, Бартлетта и др.	Сформулировать проверяемую гипотезу о равенст­ве нескольких дисперсий и указать используемый для этого статистический критерий. Вычислить значение критерия и достигнутого уровня значимо­сти. Сделать вывод о том, какая из конкурирующих гипотез принимается, дать интерпретацию этого результата. При использовании критерия Бартлетта обязательно привести результаты проверки нор­мальности во всех сравниваемых группах.
	F — критерий Фишера	Сообщить, для проверки каких именно статистиче­ских гипотез использовался данный критерий, степени свободы для него и достигнутый уровень значимости
	Сравнение двух выборок с помощью критерия	Дать описание природы количественного и группи­рующего признаков. Сообщить объемы наблюде­ний в сравниваемых группах. Сформировать гипо­тезу, которая проверяется с помощью данного критерия. Привести вычисленное значение z — критерия и величину достигнутого уровня значимо­сти. Результат проверки гипотезы интерпретиро­вать.

Дата добавления: 2014-11-20