Методы статистического описания результатов наблюдений 2 страница

Перейдем к рассмотрению понятия выборочной квантили. Пусть х⁽¹⁾,..., х⁽ⁿ⁾ - вариационный ряд выборки объема п. Если пр - не целое число, то выборочной квантилью порядка р (0 < р < 1) называется k - ый член вариационного ряда, где k = [пр]+ 1. Если же пр — целое число, то соответствующая кван­тиль не определена (она может принимать любое значение из интервала [ x^(k),х^(k+1)).

Пример 34. Вычислить среднее, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса для следующей группированной выборки:

Границы интервалов	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
Частоты

Длина интервала группировки b = 2. Значение z_i, встре­чающееся с наибольшей частотой, . Поэтому преобразование имеет вид , где i = 1,2,...,7.

Все вычисления оформим в виде таблицы 3.

Таблица 3

i	zi	ui	ni	ni ui	ui^2	ni ui^2	ui^3	ni ui^3	ui^4	ni ui^4	ui +1	(ui +1)^4	ni (ui +1)^4
		-4		-8			-64	-128			-3
		-3		-12			-27	-108			-2
		-2		-16			-8	-64			-1
		-1		-12			-1	-12
	-	-		-32	-		-	-278	-		-	-
	-	-0,582	-	2,436	-	-5,054	-	18,8	-	-	-

Контроль вычислений будет 54 + 4·(-32) + 6·134 + 4·(-278) + 1034 = 653.

Находим искомые характеристики выборочного распреде­ления:

,

, , ,

.

9.8. Двумерный случайный вектор, его статистическое описание

и выборочные характеристики.

Пусть (х_i, у_i), i =1,2,..., n - выборка объема и из наблюде­ний случайного двумерного вектора (X, Y). Предварительное представление о двумерной генеральной совокупности можно по­лучить, изображая элементы выборки точками на плоскости с вы­бранной декартовой прямоугольной системой координат. Это представление выборки называется диаграммой рассеивания.

Распределением двумерной выборки называется распределе­ние двумерного дискретного случайного вектора, принимающего значения (х_i, у_i), i =1,2,..., n, с вероятностями, равными 1/ n. Вы­борочные числовые характеристики вычисляются как соответст­вующие числовые характеристики двумерного случайного векто­ра дискретного типа.

Пример 35. Найти выборочные средние, дисперсии и коэф­фициент корреляции для выборки, приведенной в таблицей. По­строить диаграмму рассеивания.

Решение. Вычисление указанных выборочных характери­стик удобно выполнять в следующей последовательности. Снача­ла вычисляют суммы , , , , , .Для контроля правильности вычислений используется тождество

.

Таблица 4

x	y	x	y	x	y	x	y	x	y
8,35	3,50	10,50	6,00	11,35	9,50	12,15	6,00	12,85	9,50
8,74	1,49	10,75	2,50	11,50	6,00	12,25	8,05	13,15	9,02
9,25	6,40	10,76	5,74	11,50	9,00	12,35	5,01	13,25	6,49
9,50	4,50	11,00	8,50	11,62	8,50	12,50	7,03	13,26	10,50
9,75	5,00	11,00	5,26	11,75	10,00	12,76	7,53	13,40	7,51
10,24	7,00	11,25	8,00	12,00	9,00	12,85	6,01	13,50	10,00
13,65	9,50	14,50	10,00	13,75	8,51	14,75	12,00	14,00	11,00
15,25	12,50	14,23	8,40	16,00	11,50	14,26	10,00	16,00	13,00
14,51	9,50	16,25	12,00

Объем выборки п = 42.

Выборочные средние отсюда находятся по формулам

,

Затем вычисляются суммы квадратов отклонений от средне­го и произведений отклонений от средних: , ,

Отсюда , , .

Предварительно вычислим

, , , , .

Тогда найдем , .

Далее находим , , .

Окончательно, получаем

, , .

Диаграмма рассеивания приведена на рис. 11.

Рис. 11.

Выборочная линейная регрессия Y на X по выборке (х_i, у_i), i =1,2,..., n, определяется уравнением

.

Коэффициенты и называются выборочными коэф­фициентами регрессии. Они вычисляются по формулам: , .

Аналогично определяется выборочная линейная регрессия X на Y: коэффициенты и которой находятся по формулам

, .

Для контроля правильности расчетов используют соотно­шение .

Прямые , пересекаются в точке с координатами .

Пример 36. Вычислить выборочные коэффициенты линей­ной регрессии X на Y и Y на X по выборке примера 35. Нанести прямые регрессии на диаграмму рассеивания.

Решение. Воспользуемся результатами вычислений в при­мере 35. По формулам находим

, .

Таким образом, прямая регрессии Y на X имеет уравнение y =-5,705+1,103 x.

Аналогично находим , .

Отсюда прямая регрессии X на Y имеет уравнение х = 7,637 + 0,599 у.

Проверка показывает , что полученный результат совпадает со значением r, вычисленным в примере 35. Прямые регрессии нанесены на диаграмму рассеивания на рис.11.

9.9. Корреляционная таблица

.

Двумерную выборку большого объема представляют в виде корреляционной таблицы. С этой целью группируют реализации величин X и Y по интервалам длины b_х и b_y, а в клетки таблицы

записывают число пар исходной выборки (т. е. частоты) для каж­дой комбинации интервалов. Эту процедуру можно также выпол­нить непосредственно по диаграмме рассеивания, нанося на нее сетку горизонтальных и вертикальных прямых, взятых с постоян­ными шагами b_х и b_y. Наблюдения, которые попали на верхнюю и правую границы рассматриваемого прямоугольника, относятся соответственно к соседним верхнему и правому прямоугольни­кам. В дальнейших вычислениях используются середины интер­валов и соответствующие частоты. Обозначим середины интерва­лов через , i =1,2,..., k и , j =1,2,..., l, а соответствующие частоты через n_ij; очевидно, .

Полагаем , .

Для упрощения вычислений вместо середин интервалов и введем числа , i =1,2,..., k, , j =1,2,..., l, где и - середины наиболее часто встречаю­щихся интервалов.

Определение выборочных числовых характеристик распре­деления по корреляционной таблице выполняется в следующей последовательности. Сначала вычисляют суммы

, , , , .

Затем определяют следующие суммы:

, , .

Выборочные средние, дисперсии и коэффициент корреляции находят по формулам , , , , .

Коэффициенты и линейной регрессии Y на X и X на Y вычисляют по формулам , . Коэффициенты и находят по соответствующим формулам.

Пример 37. Используя группировку выборки, заданной таб­лицей 4 в примере 35, вычислить выборочные средние, диспер­сии, коэффициент корреляции, а также выборочные коэффициен­ты линейной регрессии Х на Y и Y на Х.

Решение. Выберем b_x= 1, b_y= 2. Прямоугольная сетка, со­ответствующая этим значениям, нанесена на диаграмму рассеива­ния (рис. 11). Непосредственно по диаграмме строим корреляци­онную таблицу (таблица 5). Находим , и вычисля­ем значения u_i и v_j по формулам , i =1,2,...,9, , j =1,2,...,7.

Вычисляем следующие суммы:

, , , , . По формулам находим , , . Далее получаем , , , , . Находим выборочные коэффициенты регрессии: , , , .

Окончательно получим, что уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид у = -5,74 + 1,12 x, а уравнение линейной регрессии X на Y имеет вид x = 7,72 + 0,58 y.

Расхождение полученных результатов с результатами выше рассмотренных примеров обусловлено группировкой.

Таблица 5.

Корреляционная таблица для диаграммы рассеивания к примеру 37.

Границы и средины интервалов для y	vj	Границы и середины интервалов для x	nj	njvj	njvj^2
8-9 8,5	9-10 9,5	10-11 10,5	11-12 11,5	12-13 12,5	13-14 13,5	14-15 14,5	15-16 15,5	16-17 16,5
ui
-3	-2	-1
0-2	-4											-4
2-4	-3											-6
4-6	-2											-10
6-8	-1											-10
8-10
10-12
12-14
ni										∑=42	∑=-15	∑=87
nivi	-6	-6	-4							∑=43
nivi^2										∑=215

Дата добавления: 2014-11-20