Решение систем ОДУ

Решение ОДУ первого порядка

Методы решения

В данной практической работе будем применять методы Рунге-Кутта для решения ОДУ первого порядка, решения систем ОДУ и решения ОДУ n-го порядка.

ОДУ первого порядка, согласно (2.8.1), имеет вид

y' = f (x, y).

Т.е. просто полагаем n = 1. При этом задано начальное условие y₀ = y(x₀).

Решение ОДУ первого порядка методом Рунге-Кутта выглядит следующим образом:

(2.8.5)

где q – порядок точности. Будем рассматривать 4 порядка точности. При этом

(2.8.6)

При q = 1 (первый порядок точности) имеем

(2.8.7)

При q = 2 (второй порядок точности) коэффициент p₁ можно выбрать любой в диапазоне , а далее

(2.8.8)

Например,

При q = 3 (третий порядок точности)

(2.8.9)

При q = 4 (четвертый порядок точности)

(2.8.10)

Пусть имеется система ОДУ (2.8.3) и начальные условия (2.8.4). Поскольку в общем случае решение получается громоздким, будем рассматривать систему ДУ первого порядка (далее – СДУ), т.е. n = 1:

(2.8.11)

По аналогии с (2.8.5), решение СДУ будет иметь вид

(2.8.12)

(2.8.13)

Коэффициенты p, α и β ищутся по формулам (2.8.7-2.8.10) для соответствующего порядка точности.

Дата добавления: 2014-11-20