Решение ЛИУ первого рода

Метод дискретизации

Метод последовательных приближений

Методы решения

Будем решать ЛИУ Фредгольма 1-го и 2-го рода, применяя в каждом случае методы последовательных приближений и дискретизации.

Предположим, что решение ЛИУ Фредгольма 2-го рода (2.9.2) можно представить в виде

(2.9.3)

(2.9.4)

Если

(2.9.5)

то ряд (2.9.3) сходится.

Т.к. мы не можем численно вычислить сумму бесконечного ряда, ограничимся m его членами:

(2.9.6)

Параметр m подбирается таким образом, чтобы погрешность формулы (2.9.6) не превышала заранее заданной величины ε. Погрешность формулы (2.9.6) определяется выражением

(2.9.7)

Введем сетку по переменным x и s:

(2.9.8)

Здесь A_j – квадратурные коэффициенты. Тогда вместо (2.9.2) получим СЛАУ

(2.9.9)

или, в матричном виде,

(2.9.10)

В общем случае, ЛИУ Фредгольма 1-го рода можно свести ко 2-му роду, тогда вместо (2.9.1) получим

(2.9.11)

Очевидно, что модифицированное ядро задано уже на квадрате [a ≤ s ≤ b, a ≤ x ≤ b], как и ядро уравнения (2.9.2). Далее задача решается рассмотренными выше методами. Остается единственная проблема – поиск положительного параметра α. Для этого оценим невязку решения ЛИУ:

(2.9.12)

Если полученная невязка удовлетворяет заданной погрешности, то считаем задачу решенной. Таким образом, решаем задачу (2.9.11) при различных значениях α, пока очередное решение y_α(x) не станет достаточно точным.

Для простоты положим c = a и d = b.

Дата добавления: 2014-11-20