Формат выходных данных. Формат входных данных

Формат входных данных

Метод прогонки

Пусть имеется трехдиагональная СЛАУ Ax = b размера n´n. Ее решение методом прогонки строится следующим образом:

(2.6.18)

(2.6.19)

При этом полагаем, что

(2.6.20)

Формат входного файла:

k	– порядок сплайна (1 – линейный, 2 – параболический, 3 – кубический);
n	– количество сплайнов;
x0…xn	– узлы сетки;
y0…yn	– значения функции в узлах сетки;
i Ai	– граничные условия (для k = 2);
B0 Bn	– граничные условия (для k = 3);
m	– количество интервалов в результирующей сетке (т.е. количество узлов – m + 1, что сделано для унификации с узлами исходной сетки);
x0…xm	– узлы результирующей сетки;
t	– любой символ или строка, сообщающая, известно или нет аналитическое выражение для функции f(x);
f(x)	– аналитическое выражение для функции (если оно известно).

Формат выходного файла:

a0 b0 c0 d0 a1 b1 c1 d1 ... an-1 bn-1 cn-1 dn-1	– коэффициенты сплайнов (естественно, что коэффициенты c указываются толь­ко для k = 2 и k = 3, коэффициенты d – только для k = 3);
x0 S(x0) x1 S(x1) ... xm S(xm)	– значение сплайна в узлах результирующей сетки;
ε	– СКО (если аналитическое вы­ра­жение для функции известно).

2.7. Практическая работа №7 «Численное интегрирование функций»

Обязательных методов
Баллов за обязательные методы
Дополнительных методов
Баллов за дополнительные методы
Количество вариантов

Численное интегрирование функций – весьма важный раздел численных методов. При помощи интегралов решается широкий спектр практических задач, самые распространенные из которых – вычисление объемов и площадей тел, длин кривых и т.д. Помимо очевидного преимущества ЭВМ при проведении сложных расчетов, вспомним еще тот факт, что не все интегралы имеют первообразную, а значит, не все интегралы могут быть вычислены аналитически.

В данной практической работе мы будем находить интегралы двумя способами. Первый заключается в интегрировании интерполяционных полиномов. Т.е. исходная функция заменяется некоторым интерполяционным полиномом, который легко интегрировать:

(2.7.1)

По аналогии с интерполяционными полиномами, для этого класса методов численного интегрирования задается исходная сетка {x_i} и значение функции в узлах сетки {y_i}, i = 0, 1, …, n. Если сетка равномерная, то достаточно знать границы отрезка a и b, а узлы при необходимости вычисляются по формулам (2.5.5) и (2.5.6).

Второй способ заключается нахождении интеграла на отрезке [–1, 1] с подбором оптимальных узлов интегрирования:

(2.7.2)

Узлы t_i подбираются таким образом, чтобы формула (2.7.2) была точной для степенного полинома максимально возможного порядка. При переходе к отрезку [a, b] имеем

(2.7.3)

(2.7.4)

Существуют и другие подходы к вычислению интегралов. Например, статистические, или вероятностные (как и вероятностные методы решения СЛАУ, различные модификации этих методов называются методами Монте-Кар­ло). Например, вычислить объем шара радиуса R статистически можно следующим образом. Будем случайным образом задавать N точек (x_i, y_i, z_i), лежащие в кубе, в который вписан шар (т.е. каждая из координат должна лежать в диапазоне [–R, R]). Подсчитаем также количество точек M, оказавшихся внутри шара, т.е. для которых выполняется условие

Очевидно, что отношение объемов куба и шара будет приблизительно пропорционально отношению общего количества точек и количества точек, попавших внутрь шара:

Чем больше количество точек N, тем точнее будет выполняться данное соотношение, т.е.

Учитывая, что V_K = 8R³, получим

Дата добавления: 2014-11-20