Кубические сплайны

По аналогии, из (2.6.1) получаем для кубического сплайна

(2.6.8)

Коэффициенты ищутся следующим образом:

(2.6.9)

Для коэффициентов b_i

(2.6.10)

или

(2.6.11)

Неизвестные M_i находятся из решения СЛАУ

AM = g, (2.6.12)

где

(2.6.13)

(2.6.14)

M = (M₁, M₂, …, M_n–1).

Для кубического сплайна можно выбрать любой тип граничных условий (либо по первой, либо по второй производной). Соответственно, во входном файле будут находиться значения первой (A₀ и A_n) или второй (B₀ и B_n) производной в пер­вой и последней точке отрезка.

Если граничные условия заданы по второй производной, то M₀ = B₀, M_n = B_n, а остальные неизвестные M_i находятся решением СЛАУ (2.6.12).

Если граничные условия заданы по первой производной, то b₀ = A₀, b_n = A_n. Тогда к системе можно добавить еще два уравнения, используя (2.6.10) при i = 0 и (2.6.11) при i = n, а также перенести в левую часть СЛАУ слагаемые с неизвестными коэффициентами из выражений для g₁ и g_n–1. Получим модифицированную СЛАУ

(2.6.15)

где

(2.6.16)

(2.6.17)

M = (M₀, M₁, M₂, …, M_n).

Трехдиагональные СЛАУ (2.6.12) и (2.6.15) можно решать любым методом решения СЛАУ. Однако, учитывая их структуру, оптимальным будет использование метода прогонки.

Дата добавления: 2014-11-20