Теорема (об аналитичности изображения)

Теорема (существования изображения)

Пусть – показатель роста функции . Тогда интеграл Лапласа сходится для всех таких, что , причем для , удовлетворяющих условию ( – некоторое число, большее ), сходимость является равномерной.

Справедливость теоремы следует из соотношений: , и оценки модуля интеграла Лапласа

, (2)

верной для всех из промежутка .

Следствие. Из соотношения (2) имеем равенство

. (3)

Изображение Лапласа для оригинала с показателем роста является аналитической функцией переменной в области .

Доказательство теоремы проводится аналогично.

Теоремы показывают, что не всякая функция от может быть изображением некоторого оригинала. Изображение должно быть аналитической функцией комплексной переменной, в частности, удовлетворяющей условию (3), в области . Впредь
будем рассматривать в области ее существования.

ПРИМЕР 5. Изображение для оригинала найдем по формуле (2), а именно: , .

Здесь при подстановке верхнего предела имеем , так как , .

Итак, , т.е. получаем соотношение .

ПРИМЕР 6. Часто используется оригинал , – действительное или комплексное число, а именно:

, т.е. .

Здесь предполагается, что , т.е. . В частности, изображение функции , находится аналогично и определяется соотношением

, .

Заметим, что иногда для краткости записи оригинала множитель опускается, и оригинал вида записывается в виде .

Задание

1. Установить, являются ли оригиналами следующие функции: ; ; , ?

Ответы: нет, нет, нет, да.

2. Используя формулу (1), найти изображение функции .

Ответ: .

Дата добавления: 2014-12-16