Простейшие свойства преобразования Лапласа

1. Однородность. Если для оригинала изображение есть , , то для всякого числа оригинал имеет изображение , . Схематично это утверждение можно записать в виде

. (4)

Свойство однородности преобразования Лапласа означает, что при умножении оригинала на ненулевое число его изображение
также умножается на это число.

2. Аддитивность. Изображение суммы двух оригиналов равно сумме изображений слагаемых, т.е.

, (5)

.

Свойства однородности и аддитивности преобразования Лапласа определяют его линейность. Изображение линейной комбинации конечного множества оригиналов есть линейная комбинация соответствующих изображений, т.е. если , где – постоянные, – оригиналы, для ,
то , .

3. Подобие (или свойство изменения масштаба)

. (6)

Проверка утверждений о простейших свойствах изображений проводится непосредственно по определению (1). Например, справедливость свойства подобия получаем из соотношения . Используя замену переменных и учитывая, что при пределы интегрирования не изменяются, имеем

.

ПРИМЕР 7. Используя простейшие свойства ПЛ, найти изображения тригонометрических и гиперболических функций.

Решение. По формуле Эйлера имеем: . Используя пример 6 и формулы (4) – (6), получаем изображение для в виде

, т.е. справедливо соотношение .

По формуле Эйлера и для оригинала имеем изображение ,

т.е. . Аналогично устанавливаются соотношения

и .

Заметим, что каждое из установленных соотношений имеет
место в области ; слева в соотношениях – оригиналы.

Дата добавления: 2014-12-16