Дифференцирование оригинала

Если , а функции – оригиналы, то справедливы соотношения

то (7)

где , .

В самом деле, из формулы (1) после интегрирования по частям получаем

, т.е. .

Здесь, как и ранее предполагалось, , и поэтому имеем , т.е. .

Применяя полученную формулу к функции ,
получаем соотношение

или .

Методом математической индукции устанавливается справедливость соотношений (7) при каждом значении .

Формулы (7) становятся более простыми при для . В этом случае имеем

, , , ,

т.е. видим, что дифференцирование оригинала сводится к
умножению на изображения .

Изображения функций и их производных используются при
решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида (8)

с начальными условиями ,(9)

здесь – искомое решение; – заданные числа.

Предположим, что искомое решение этой задачи Коши дифференциального уравнения и его производные , , а также функция являются оригиналами. Тогда,
используя свойства изображений, можно перейти от дифференциального уравнения (8) с начальными условиями (9) к операторному уравнению

, где , .

Это уравнение является линейным алгебраическим уравнением
относительно . Разрешив его, найдем – изображение искомого решения . Далее по восстанавливаем оригинал – требуемое решение задачи Коши (8) – (9).

ПРИМЕР 8. Найти решение дифференциального уравнения при .

Решение. Переходим к операторному уравнению: полагаем , находим и записываем . Из этого уравнения получаем или .
Для восстановления по его изображению можно разложить на простейшие дроби

.

Коэффициенты разложения найдем методом неопределенных коэффициентов, приводя дроби в правой части к общему знаменателю и приравнивая числители. При любых имеем , в том числе

при получаем или ;

при или ; при или .

Окончательно имеем .

Используя свойства изображения и пример 6, получаем

, .

Непосредственной подстановкой в заданное уравнение можно убедиться в правильности полученного решения.

Дата добавления: 2014-12-16