Обратная матрица. 1)Матрица B называется обратной по отношению к матрице А, если

1)Матрица B называется обратной по отношению к матрице А, если . Матрицу, обратную по отношению к матрице A, принято обозначать .

2) Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

3) Обратная матрица к матрице находится по формуле

,

где -алгебраическое дополнение элемента матрицы .

4)Обратная матрица к матрице находится по формуле

где - алгебраические дополнения элемента определителя .

Пример1. Найти сумму и произведения матриц и .

Решение.

,

Пример 2. Найти обратную матрицу к матрице

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

; ; :

; ; ;

; ; .

Следовательно,

.

3. Матричный способ решения линейных уравнений.

Матрицей – столбцом называется матрица вида .

Произведение определяется равенством:

Система уравнений

может быть записана в виде

,

где .

Решение этой системы имеет вид , если .

Пример 3. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы

Решение. Перепишем систему в виде ,

где , , .

Решение матричного уравнения имеет вид . Найдем . Имеем

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Таким образом, .

Откуда

Следовательно, , , .

Пример 4 Решить матричные уравнения , где .

Решение.

1) Найдем обратную матрицу . Обратная матрица к матрице вычисляется по формуле:

,

где -алгебраическое дополнение элемента матрицы , находящегося на пересечении -ой строки и -го столбца.

, то .

2)Умножим слева правую и левую части равенства на . Получим .

3) Умножим справа правую и левую части равенства на . Получим .

4) Таким образом:

,

.

Дата добавления: 2014-12-16