Полярные координаты

В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется её расстоянием от полюса ( -полярный радиус вектор точки M) и углом , образованный отрезком с полярной осью Ох ( полярный угол точки). Угол считается положительным при отсчёте от полярной оси против часовой стрелки.

Если начало декартовой системы координат совместить с полюсом, а ось направить по полярной оси, то прямоугольные координаты и точки и её полярные координаты и связаны формулами:

(7)

Пример 4. Найти прямоугольные координаты точки , если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Решение. Используя формулу (7) имеем:

, .

Итак,

4. Прямоугольная система координат в пространстве.

Три взаимно перпендикулярные координатные оси Ох, Оу, Оz с общим началом О и одинаковой единицей масштаба образуют прямоугольную декартову систему координат в .

Точка О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Оz - ось аппликат.

Пусть М произвольная точка пространства и - радиус вектор точки М. Проекции радиус вектора на оси координат , , называются прямоугольными координатами точки или вектора . Таким образом, в выбранной системе координат каждой точке соответствует единственная упорядоченная тройка её прямоугольные координаты и обратно, каждой упорядоченной тройка соответствует, и притом одна единственная точка в пространстве .

1º Расстояние между точками и :

(8)

В частности, расстояние точки от начала координаты определяется:

(9)

2º Если отрезок, концами которого служат точки и разделён точкой в отношении , то координаты точки определяются соотношением:

; ; . (10)

Пример 5. Даны точки и . Найти координаты точек и , делящих отрезок на три равных части.

Решение. Пусть ближайшая к точка деления, тогда = . Следовательно, по формуле (10) находим:

; ; ;

т.е. .

Пусть теперь точка деления ближайшая к , тогда и по формуле (10) находим:

; ;

т.е. . Ответ: , .

Контрольные вопросы

1. Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

2. Прямоугольная система координат плоскости.

3. Полярные координаты.

4. Прямоугольная система координат в .

Задания.

1) Определить расстояние между точками: а) и ; б) и .

2) Найти точку , симметричную точке относительно точки .

3) Найти координаты середины отрезка, если известны его концы: 1) и ; 2) , .

4)Определить расстояние между точками: 1) и ; 2) и .

5) Известны точки , - концы отрезка . Показать, что на этом отрезке находится точка , расстояние которой от точки в два раза больше расстояния от точки .

6) Построить точки, заданные полярными координатами , , , .

7) Определить расстояние между точками и . (Применить к треугольнику теорему косинусов.)

9) Найти полярные координаты точек, симметричных точкам , , : 1) относительно полюса; 2) относительно полярной оси.

10) Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами , и

11) В каком отношении точка равноудалённая от точек и , разделит отрезок от начала координат до точки

12) Даны следующие вершины куба , , и . Определить его остальные вершины.

Дата добавления: 2014-12-16