Формулы длин дуг плоских кривых

Решение.

Вычисление объёмов тел вращения.

Объём тела, полученного вращением вокруг оси Оx, криволинейной трапеции , определяется формулой

.

Пример 6. Найти объем тела, образованного вращением

фигуры, ограниченной линиями , , , х= 1 вокруг оси Оx,

Ответ: .

Пример 7. Найти объём тела вращения плоской фигуры

а) вокруг оси Ox,

б) вокруг оси Oy.

Решение.

а) Найдем объем тела вращения вокруг оси OX.

б)Найдем объём тела вращения вокруг оси OY.

Будем иметь и ,

.

Длина кривой, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

Длина кривой заданной параметрическими уравнениями

, вычисляется по формуле:

Длина кривой заданной в полярных координатах уравнением

вычисляется по формуле:

.

Пример 8. Найти длину дуги кривой от до .

Решение. Кривая симметрична относительно оси Ox. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения находим . По формуле вычисления длины дуги получим

Контрольные вопросы.

1.Определённый интеграл

2.Формула Ньютона- Лейбница.

3. Вычисление объёмов тел вращения.

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) 3) ; 4) ;

5) : 6) .

2. Найти площади фигур ограниченных линиями:

1) , , ; 2) , у=1-х², х=0; 3) , х=е,у=0.

3.Найти объём тела, образованного вращением фигуры ограниченной линиями:

=4-х²; у=0; х=0;

1) вокруг оси Ox; 2) вокруг оси Oy.

4. Найти длину дуги кривой:

а) отсеченной осью Ox;

б)

в) Кардиоиды

Дата добавления: 2014-12-16