Несобственные интегралы

Занятие 10.

Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами определяются как интегралы вида:

, ,

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

Если непрерывна для всех значений отрезка , кроме точки с, в которой имеет разрыв второго рода, то несобственным интегралом второго рода от неограниченнойфункции называется интеграл вида:

Признак сравнения. Если функции и непрерывны на промежутке и удовлетворяют на этом промежутке условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , и из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , то для любого

2) Если , то для любого

.

Итак, данный интеграл при сходится, при расходится и при расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость .

Решение. Сравним подынтегральную функцию с функцией на . Очевидно, что

.

Но интеграл сходится, так как (см. пример 1.) Следовательно, согласно признаку сравнения, сходится и данный ряд.

Пример 3. Исследовать сходимость , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , для некоторого ,то

2) Если , то

,

3) Если , для некоторого , то

.

Контрольные вопросы.

1. Несобственные интегралы.

2. Признак сравнения.

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) ; 3) ; 4)

2.Исследовать сходимость интегралов

1) , 2) 3)

Дата добавления: 2014-12-16